Um zu beginnen, erinnern wir uns an die grundlegenden Eigenschaften von ungeraden Zahlen. Ungerade Zahlen können als Multiplikation mit 2 und Addition mit 1 dargestellt werden. Das heißt, jede ungerade Zahl kann als 2n + 1 geschrieben werden, wobei n eine ganze Zahl ist.
Nehmen wir nun an, wir haben eine ungerade Zahl a. Wir wollen beweisen, dass sein Quadrat eine ungerade Zahl ist. Dazu müssen wir das Quadrat dieser Zahl schreiben und sicherstellen, dass es auch die Form 2k + 1 hat, wobei k eine Ganzzahl ist.
Lassen Sie uns unsere ungerade Zahl a in ein Quadrat stellen und sehen, was passiert:
a^2 = (2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 2(2n^2 + 2n) + 1
Wie wir sehen können, kann das Quadrat der ungeraden Zahl a als 2k + 1 dargestellt werden, wobei k = 2n^2 + 2n eine ganze Zahl ist. So haben wir bewiesen, dass das Quadrat einer ungeraden Zahl immer eine ungerade Zahl ist.
Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist eine ungerade Zahl
- Sei eine ungerade Zahl gegeben n.
- Dann können Sie diese Zahl als schreiben n = 2k + 1, wo k - ganze Zahl.
- Wir werden diese Zahl quadrieren: n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1.
- Vereinfachen wir die Gleichung: n 2 = 2(2k 2 + 2k) + 1.
Beachten Sie, dass der zweite Teil 2(2k 2 + 2k) ist eine gerade Zahl, da die Multiplikation einer beliebigen Zahl mit 2 eine gerade Zahl ergibt. Außerdem ist die Zahl 1 am Ende eine ungerade Zahl.
Wir sehen also, dass das Quadrat einer ungeraden Zahl die Summe von geraden und ungeraden Zahlen ist, was die Ungerade der resultierenden Zahl bedeutet. Daher haben wir bewiesen, dass das Quadrat einer ungeraden Zahl immer eine ungerade Zahl ist.
Beweis für diese Aushärtung
Weil n das Ungerade ist, dann kann es als dargestellt werden n = 2k + 1, wo k - ganze Zahl.
Errichten n in ein Quadrat:
n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1
Wir sehen, dass das Quadrat einer ungeraden Zahl in der Zersetzung zerfällt n es gibt das Element 1. Bestandteil 4k^2 und 4k sind gerade Zahlen, da sie den Multiplikator 4 enthalten.
Die Summe der geraden Zahlen und 1 ist immer eine ungerade Zahl, da gerade Zahlen als Verdoppelung einer geraden Zahl dargestellt werden können. Zum Beispiel, 2a wird eine gerade Zahl sein, und 2a + 1 wird eine ungerade Zahl sein.
Daher das Quadrat einer ungeraden Zahl n gleich 4k^2 + 4k + 1, das ist die Summe von geraden Zahlen und 1 und ist daher eine ungerade Zahl.
Es ist also bewiesen, dass das Quadrat einer ungeraden Zahl immer eine ungerade Zahl ist.
Eine ungerade Zahl der Form 2n+1
Sei a = 2n+1. Wir werden diese Zahl quadrieren: a^2 = (2n+1)^2 = 4n^2+4n+1.
Drücken wir a^2 als (2n+ 1) aus (2n+ 1): a^2 = (2n+1)(2n+ 1) = 4n^2+2n+2n+1 = 4n^2+4n+1.
Beachten Sie, dass 4n^2 und 4n gerade Zahlen sind, da sie ohne Rest durch 2 geteilt werden.
So erhalten wir, dass a^2 = 4n^2+4n+1 die Summe von zwei geraden Zahlen und 1 ist. Es ist bekannt, dass die Summe einer geraden Zahl und 1 eine ungerade Zahl ist.
Das Quadrat einer ungeraden Zahl der Form 2n + 1 ist also immer eine ungerade Zahl, was man beweisen musste.
Ausdruck für ein Quadrat einer ungeraden Zahl
Um das Quadrat einer Zahl zu erhalten n multiplizieren wir beide Teile der Gleichheit mit der Zahl selbst n:
| Ausdruck | Ergebnis |
|---|---|
| n * n | (2k + 1) * (2k + 1) |
| 4k^2 + 2k + 2k + 1 | |
| 4k^2 + 4k + 1 |
Sie können feststellen, dass jedes Mitglied des Ausdrucks 4k^2 + 4k + 1 ist gerade, außer dem letzten Mitglied 1, das ist ungerade. Daher hat das Quadrat einer ungeraden Zahl immer einen ungeraden Wert.
Ausdrücke in Multiplikatoren zerlegen
Um einen Ausdruck in Multiplikatoren zu zerlegen, müssen Sie eine Faktorisierung durchführen, dh solche Multiplikatoren finden, die, wenn sie mit einer anderen Kombination von Multiplikatoren multipliziert werden, den ursprünglichen Ausdruck ergeben. Die Faktorisierung basiert auf der Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren.
Zunächst müssen Sie den Ausdruck analysieren und seinen gemeinsamen Multiplikator hervorheben. Dann werden mit der Gruppierungsmethode Kombinationen von Multiplikatoren hervorgehoben, die in einer Farbe eingefärbt und hinter Klammern gesetzt werden können.
12x + 18y = 6(2x + 3y)Nachdem wir den gemeinsamen Multiplikator zugewiesen haben, können wir beginnen, jeden Klammern-Ausdruck in Primfaktoren zu zerlegen. Dazu können Sie verschiedene Methoden verwenden, z. B. die Gruppierungsmethode, die Quadratdifferenzmethode, die quadratische Dreigliedmethode und andere.
Die resultierende Zersetzung ermöglicht eine weitere Analyse des Ausdrucks, die Bestimmung seiner Eigenschaften und die Verwendung der resultierenden Formel, um mathematische Probleme zu vereinfachen und zu lösen.
Eigenschaft von ungeraden Zahlen beim Multiplizieren
Dann wird die Quadrierung dieser Zahl die folgende Form haben: n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1.
Um den Ausdruck zu vereinfachen, wählen wir den gemeinsamen Multiplikator 2 aus: n 2 = 2(2k 2 + 2k) + 1.
So haben wir einen Ausdruck der Art erhalten 2m + 1, wo m = 2k 2 + 2k - ganze Zahl.
Beachten Sie, dass der Ausdruck 2m + 1 stellt eine ungerade Zahl dar, da sie einen ungeraden Begriff 1 hat.
Daher haben wir bewiesen, dass das Quadrat einer ungeraden Zahl immer eine ungerade Zahl ist, basierend auf der allgemeinen Formel n = 2k + 1.
