gleichschenkliges Dreieck - dies ist ein Dreieck, bei dem zwei Seiten gleich sind und sich die dritte Seite von ihnen unterscheidet. Die interessanteste Eigenschaft eines solchen Dreiecks ist, dass sich das Zentrum des eingeschriebenen Kreises auf der senkrechten Bisektrik befindet, die von der Spitze der Gleichschenkellinie gezogen wird.
Stellen wir uns vor, wir haben ein Dreieck mit den Seiten a, b und c. Lassen Sie die Seiten a und c gleich sein: a = c. Wenn Sie eine Bisektrix aus dem Scheitelpunkt der Gleichschenkligkeit zeichnen (die Scheitelpunkte, an denen sich a und c verbinden), stellt sich heraus, dass sie den Winkel zwischen a und c in zwei Hälften teilt. Lassen Sie den Schnittpunkt der Bisektrix und der gegenüberliegenden Seite der Punkt M sein.
Lassen Sie uns beweisen, dass die Mitte des eingeschriebenen Kreises auf einer geraden Linie MN liegt (wobei N die Mitte der Seite a ist). Betrachten Sie die Dreiecke MOS und MNC. Sie haben zwei Seiten, die gleich sind (OS = NC, weil M die Mitte von Seite a ist), und der Winkel von MO ist gleich dem Winkel von MNC (sie bilden einen Winkel, weil MO die Bisektrisse von Winkel b ist, und der Winkel von M ist auch der Neigungswinkel von gerade MN).
Daher haben sie aufgrund der Gleichheit der Dreiecke MOC und MNC die Winkel von SOM und CNM gleich. Daher verläuft der um das Dreieck herum beschriebene Kreis auch durch den Punkt N, dh der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises eines gleichschenkligen Dreiecks befindet sich auf einer geraden Linie, die durch den Punkt M und die Mitte der Seite a verläuft.
Idee und Aufgabenstellung
In diesem Abschnitt betrachten wir die Idee und das Problem, die Gleichheit der Entfernungen von den Eckpunkten eines gleichschenkligen Dreiecks bis zum Mittelpunkt eines eingeschriebenen Kreises zu beweisen.
Angenommen, wir haben ein gleichschenkliges Dreieck ABC, in dem die Seiten AB und AC gleich sind. Die Aufgabe besteht darin zu beweisen, dass die Abstände von den Scheitelpunkten B und C zum Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises gleich sind.
Um dieses Problem zu lösen, verwenden wir die Eigenschaften der eingegebenen Winkel und des Radius des Kreises im Dreieck ABC.
Weiter unten im Artikel werden wir uns den Prozess des Beweises dieser Behauptung ansehen und eine detaillierte Lösung für das Problem geben.
Untersuchung von gleichschenkligen Dreiecken
Ein gleichschenkliges Dreieck wird als Dreieck bezeichnet, bei dem zwei Seiten gleich sind. Aus dieser Eigenschaft ergeben sich viele interessante Merkmale und Abhängigkeiten, die bei ihrer Untersuchung verwendet werden können.
Ein solches Merkmal ist, dass bei einem gleichschenkligen Dreieck die Bisektrisen der Winkel, die von gleichen Seiten gebildet werden, die Höhen und Mediane eines gegebenen Dreiecks sind. Dies bedeutet, dass ihr Schnittpunkt mit dem Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises eines gegebenen Dreiecks übereinstimmt.
Der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises ist der Schnittpunkt aller Winkel des Dreiecks. Aus dieser Eigenschaft ergibt sich, dass der Abstand vom Mittelpunkt des eingegebenen Kreises zu jeder Seite des Dreiecks gleich dem Radius dieses Kreises ist.
Es sollte auch beachtet werden, dass bei einem gleichschenkligen Dreieck der Median, der von der Spitze gezogen wird, die die Basis bildet, die Bisektrise dieses Winkels ist und senkrecht zur Basis des Dreiecks steht. Diese Eigenschaft wird als eine Eigenschaft der Rechtwinkligkeit des Medians und der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks bezeichnet.
Die Untersuchung von gleichschenkligen Dreiecken ermöglicht es Ihnen, ihre Eigenschaften und Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln zu untersuchen und sie zur Lösung verschiedener Geometrieprobleme zu verwenden.
| Eigenschaften von gleichschenkligen Dreiecken |
|---|
| Die beiden Seiten sind einander gleich |
| Winkel-Bisektrisen sind die Höhen und Mediane eines Dreiecks |
| Die Senkrechte des Medians und der Basis des Dreiecks |
| Der Abstand von der Mitte des eingegebenen Kreises zur Seite ist gleich dem Radius des Kreises |
Nachweis der Existenz des Mittelpunktes des eingeschriebenen Kreises
Lassen Sie uns zunächst beweisen, dass das Zentrum des eingeschriebenen Kreises existiert. Betrachten Sie das gleichschenklige Dreieck ABC, in dem AB = AC ist. Angenommen, der Kreis O durchläuft nicht alle drei Eckpunkte des Dreiecks ABC.
1. Lassen Sie uns die Bisektrise AD des Dreiecks ABC zeichnen, wobei D der Schnittpunkt der Bisektrise mit der Basis BC ist. Da das Dreieck ABC gleichschenklig ist, ist der Winkel BAD = der Winkel CAD.
2. Zeichnen wir die Linie AO vom Mittelpunkt des Kreises O bis zum Gipfel A.
3. Da die Punkte A, B, C nur zwei mögliche Positionen haben können (eine davon wird durch die Aktion des Kreises O und die andere durch eine willkürliche Drehung definiert), gibt es einen einzigen Winkel von IHNEN, in dem der Punkt D auf der Bisektrik von AD liegt.
4. Da der Winkel BAD = Ecke CAD und der Winkel SIE = Ecke CAO ist, erhalten wir, dass der Winkel BOA = Ecke COA ist. Daher sind die Winkel von BOC und AOB gleich.
5. Da die Summe der Winkel des Dreiecks 180 ° beträgt, erhalten wir, dass die Winkel von AOB und OBC die Hälfte des Winkels von BOC sind.
6. Aus der Gleichheit der Winkel von BOC und AOB ergibt sich, dass die Winkel von OAB und OBA gleich sind.
So wird Folgendes ausgeführt: Winkel AOB = Ecke BOC / 2 = Ecke C / 2. Das OAB-Dreieck ist also auch gleichschenklig und der Mittelpunkt des Kreises O existiert.
Vergleich der Eigenschaften von gleichschenkligen Dreiecken und eingeschriebenen Kreisen
Gleichschenklige Dreiecke vergleichen:
1. In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten und zwei Winkel an der Basis gleich.
2. Die Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks werden als gleichschenklige Seiten bezeichnet.
3. Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ist die Symmetrieachse.
Vergleich von eingeschriebenen Kreisen:
1. In einem eingeschriebenen Kreis liegt der Mittelpunkt des Kreises auf der senkrechten Bisektrik des Winkels zwischen den gleichen Seiten des Dreiecks.
2. Der Radius des eingegebenen Kreises ist gleich der Hälfte der Längendifferenz der Seiten des Dreiecks.
3. Der Berührungspunkt des eingegebenen Kreises mit der Basis des Dreiecks liegt auf der senkrechten Bisektrik des Winkels zwischen den gleichen Seiten des Dreiecks.
Daher ergänzen sich die Eigenschaften von gleichschenkligen Dreiecken und eingeschriebenen Kreisen und ermöglichen es uns, zusätzliche Kenntnisse über Formen und ihre Zusammenhänge zu erlangen.
Die Beziehung zwischen der Gleichschenkligkeit eines Dreiecks und der Mitte des eingeschriebenen Kreises
Der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises eines gleichschenkligen Dreiecks liegt an der Kreuzung von Höhe, Bisektrix und Median des Dreiecks. Diese Eigenschaft ist mit den Merkmalen des gleichschenkligen Dreiecks und seines eingeschriebenen Kreises verbunden.
Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem zwei Seiten gleich sind. In diesem Dreieck sind die Winkel an der Basis ebenfalls gleich, und die Höhe, die an der Basis durch die Spitze des Winkels verläuft, ist die Bisektrizität dieses Winkels.
Der eingeschriebene Kreis eines gleichschenkligen Dreiecks berührt wiederum seine beiden gleichen Seiten und verläuft an der Basis durch die Spitze des Winkels. Ein solcher Kreis kann nur innerhalb eines Dreiecks gezogen werden, und sein Mittelpunkt entspricht dem Schnittpunkt von Höhe, Bisektor und Median.
Der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises eines gleichschenkligen Dreiecks ist daher der Symmetriepunkt des Dreiecks und ist für seine Eigenschaften und Konstruktionen wichtig. Das Verständnis der Beziehung zwischen der Gleichschenkligkeit eines Dreiecks und seinem eingeschriebenen Kreis hilft bei der Untersuchung und Lösung der geometrischen Probleme, die mit diesen Formen verbunden sind.
Bezeichnende Beispiele und Begründung der Verbindung
Um zu beweisen, dass der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises eines gleichschenkligen Dreiecks mit dem Schnittpunkt des Bisektrises übereinstimmt, betrachten wir einige Beispiele und begründen diese Aussage.
Betrachten Sie das gleichschenklige Dreieck ABC, in dem AB=AC ist. Sei der Punkt O der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises eines gegebenen Dreiecks. Lassen Sie auch die Punkte I und Ia sind die Mittelpunkte der eingeschriebenen Kreise der Dreiecke ABC bzw. AOB.
Um die Verbindung zwischen dem Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises und dem Schnittpunkt des Bisektrises zu beweisen, genügt es zu zeigen, dass die Punkte O, B und I auf derselben Geraden liegen.
Betrachten Sie das Dreieck ABC. Da AB=AC, sind die Winkel von B und C gleich. Lassen Sie die Bisektoren dieser Winkel an Punkt I schneiden. Nach dem Satz über den Bisektor aus dem Geometrielehrungskurs ist bekannt, dass Punkt I die Seite BC in BD- und CD-Segmente teilt, wobei das Verhältnis ihrer Längen dem Verhältnis der Längen der benachbarten Seiten des Dreiecks ABC entspricht: BD / DC = AB / AC = 1/1 = 1.
Betrachten Sie das Dreieck AIB. Nach dem gleichen Satz über die Bisektrik kann man sagen, dass Punkt Ia teilt die Seite AB in AI- und IB-Segmente, wobei AI/IB = AB/BI = 1/1 = 1 ist.
Betrachten Sie das Dreieck AIC. Da AI und BI die Radien der eingeschriebenen Kreise sind, sind sie in der Länge gleich: AI=BI. Auch die Winkel A und C sind gleich, weil das Dreieck ABC gleichschenklig ist. Daraus folgt, dass die Dreiecke AIC und BIC gleichschenklig sind.
So erhalten wir ein gleichschenkliges Dreieck BIC, in dem BI=IC und die Winkel B und C gleich sind. Per Definition eines gleichschenkligen Dreiecks muss der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises der Punkt O auf der BIC-Winkelbissektrik liegen, die eine gerade BI ist. Daher liegen die Punkte O, B und I auf derselben geraden Linie.
So haben wir gezeigt, dass der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises eines gleichschenkligen Dreiecks mit dem Schnittpunkt des Bisektriums des Dreiecks übereinstimmt.
Definition und Eigenschaften des Mittelpunkts eines eingeschriebenen Kreises
Eigenschaften des Mittelpunkts eines eingeschriebenen Kreises:
| 1. | Der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises liegt an der Kreuzung der Bissektris des Dreiecks. |
| 2. | Der Abstand von der Mitte des eingeschriebenen Kreises zu jeder Seite des Dreiecks ist gleich dem Radius des Kreises. |
| 3. | Der um das Dreieck beschriebene Kreis verläuft durch die Mitte des eingeschriebenen Kreises. |
| 4. | Der Mittelpunkt eines eingeschriebenen Kreises ist der Mittelpunkt eines eingeschriebenen Kreises für jedes der Dreiecke, die von einer Seite und zwei Bisektrisen gebildet werden. |
Das Zentrum eines eingeschriebenen Kreises spielt eine wichtige Rolle in der Geometrie und wird verwendet, um verschiedene Probleme zu lösen, die mit Dreiecken verbunden sind, einschließlich gleichschenkliger.
Geometrische Beschreibung des Mittelpunkts des eingegebenen Kreises eines gleichschenkligen Dreiecks
Der Mittelpunkt des eingegebenen Kreises eines gleichschenkligen Dreiecks kann wie folgt definiert werden:
- Zeichnen Sie die Winkelbissektrix zwischen den gleichen Seiten des Dreiecks.
- Suchen Sie auf jeder der gleichen Seiten des Dreiecks nach den Schnittpunkten der Bisektrix mit dieser Seite. Bezeichnen wir diese Punkte als A und B (A auf der einen Seite, B auf der anderen Seite).
- Suchen Sie die Mitte der AB-Linie und markieren Sie sie als Mittelpunkt des Kreises.
Der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises eines gleichschenkligen Dreiecks ist also der Punkt, an dem sich die Winkelbissektrix und die Mitte senkrecht zur Basis des Dreiecks schneiden.
Beachten Sie, dass die Mitte des eingeschriebenen Kreises eines gleichschenkligen Dreiecks immer an der Kreuzung der Bissektris und der Höhen des Dreiecks liegt.
Nachweis der Gleichschenkligkeit und Existenz des Mittelpunktes des eingeschriebenen Kreises
Angenommen, das Dreieck ABC ist nicht gleichschenklig. Dann muss das Dreieck entweder vielseitig oder vielseitig mit einem degenerierten Winkel sein (einer der Eckpunkte ist ein rechtwinkliger Winkel).
Fall 1: Vielseitiges Dreieck
Wenn das ABC-Dreieck vielseitig ist, werden alle Seiten und Winkel unterschiedlich sein. Da Punkt I der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises ist, können senkrechte Senkrechte von ihm zu jeder Seite des Dreiecks AB, BC und CA gezogen werden, die einander gleich sind.
Da das Dreieck ABC jedoch vielseitig ist, sind die Längen der Seiten AB, BC und CA unterschiedlich. Daher haben die Höhen, die von Punkt I auf die gegebenen Seiten gesenkt werden, auch unterschiedliche Längen.
Fall 2: Vielseitiges Dreieck mit degeneriertem Winkel
Betrachten wir einen Fall, in dem das Dreieck ABC vielseitig mit einem degenerierten Winkel ist. Sei B ein rechter Winkel, dann sind die Ecken von CAB und CBA scharf.
Da das Dreieck vielseitig ist, gehen wir davon aus, dass die Seite AB größer ist als die Seiten BC und CA. Daher ist die Höhe, die von Punkt I auf die Seite AB gesenkt wird, größer als die Höhe, die von Punkt I auf die Seiten BC und CA gesenkt wird.
Daher sind wir in beiden Fällen zu einem Widerspruch gekommen, was bedeutet, dass unsere Annahme falsch ist und das Dreieck ABC gleichschenklig sein muss.
Für ein gleichschenkliges Dreieck ist der Nachweis der Existenz des Zentrums I des eingeschriebenen Kreises nicht schwierig. In einem gleichschenkligen Dreieck sind alle Höhen, die an seiner Basis gehalten werden, Mediane und Bisektrisen, und auch der Winkel, der durch die beiden Höhen gebildet wird, wird scharf sein.
So haben wir bewiesen, dass der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises existiert und mit dem Schnittpunkt des Bissektrises und des Medians des Dreiecks ABC übereinstimmt.
