Offene Punkte - dies sind Punkte ohne Einschränkungen, an denen Sie sich frei bewegen können. Ein mathematischer Ansatz kann für verschiedene Kombinationen verwendet werden, und die meisten dieser Fragen können mit einfachen kombinatorischen Problemen gelöst werden. Verwechseln Sie nicht offene Punkte mit geschlossenen Punkten.
Geschlossene Punkte - dies sind Punkte, die eine geschlossene Figur bilden. In dieser Aufgabe müssen Sie bestimmen, wie viele verschiedene offene und geschlossene Punkte aus 4 Punkten erhalten werden können.
Um dieses Problem zu lösen, wird eine Kombinatorik verwendet, nämlich eine Platzierungsaufgabe. Da die Anzahl der Punkte begrenzt ist, können Sie alle möglichen Kombinationen durchlaufen und die Anzahl der offenen und geschlossenen Punkte unter Berücksichtigung der Aufgabenregeln berechnen.
Anzahl der verschiedenen offenen Punkte
In der Mathematik wird die Anzahl der verschiedenen offenen Punkte, die aus einer bestimmten Anzahl von Punkten gewonnen werden können, durch die Formel bestimmt:
C(n) = 2^n - n - 1
Wobei n die Anzahl der Punkte in der Menge ist.
Zum Beispiel für eine Menge von 4 Punkten:
C(4) = 2^4 - 4 - 1 = 16 - 4 - 1 = 11
So können aus 4 Punkten 11 verschiedene offene Punkte erhalten werden.
Anzahl der verschiedenen geschlossenen Punkte
Um die Anzahl der verschiedenen geschlossenen Punkte zu bestimmen, die aus vier Punkten gewonnen werden können, müssen Sie alle möglichen Kombinationen von Punkten berücksichtigen und jede von ihnen analysieren.
Es gibt 4 Punkte, wir bezeichnen sie als A, B, C und D. Jeder dieser Punkte kann mit jedem anderen Punkt und auch mit sich selbst verbunden sein.
Es sind insgesamt 4 Wiederholungskombinationen möglich: AA, AB, AC, AD, BB, BC, BD, CC, CD, DD.
Einige dieser Kombinationen sind jedoch die gleiche geschlossene Schleife. Zum Beispiel bilden die Punkte ABCDA und ADCBA die gleiche geschlossene Schleife, da sie die gleichen Punkte enthalten, einfach in einer anderen Reihenfolge.
- Wenn alle Punkte miteinander verbunden sind, entsteht ein einzelner geschlossener Punkt (A-B-C-D-A).
- Wenn drei Punkte miteinander verbunden sind, wird ein geschlossener Punkt gebildet (A-B-C-A, A-B-D-A, B-C-D-B).
- Wenn zwei Punkte miteinander verbunden sind, wird ein einzelner geschlossener Punkt gebildet (A-B-A, A-C-A, A-D-A, B-C-B, B-D-B, C-D-C).
- Wenn nur ein Punkt mit sich selbst verbunden ist, wird ein geschlossener Punkt gebildet (A-A, B-B, C-C, D-D).
- Wenn alle Punkte nicht miteinander verbunden sind, werden keine geschlossenen Punkte gebildet.
So können aus 4 Punkten insgesamt 17 verschiedene geschlossene Punkte erhalten werden.
Zählen verschiedener offener Punkte mit Wiederholungen
Beim Zählen verschiedener offener Punkte mit Wiederholungen ist es wichtig zu berücksichtigen, dass jedes Element mehrmals auftreten kann, aber die Gesamtzahl der Elemente ist festgelegt.
Dazu benötigen wir eine Kombinatorikformel - eine Kombination mit Wiederholungen. Es ermöglicht uns, die Anzahl der möglichen Kombinationen von Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge zu bestimmen.
Die Formel für die Kombinatorik von Kombinationen mit Wiederholungen lautet wie folgt:
C(n + r - 1, n)
wo n - anzahl der Elemente, r - anzahl der verschiedenen Kombinationen.
Indem wir die Werte aus der Aufgabenbedingung ersetzen, erhalten wir:
C(4 + 2 - 1, 4) = C(5, 4) = 5
Es gibt also 5 verschiedene offene Punkte mit Wiederholungen, die aus 4 Elementen gewonnen werden können.
Es muss darauf geachtet werden, dass wir hier nur offene Punkte berücksichtigen. Wenn Sie auch geschlossene Punkte berücksichtigen müssen, müssen Sie eine andere Kombinatorikformel verwenden.
Zählen verschiedener geschlossener Punkte mit Wiederholungen
Um die Anzahl der verschiedenen geschlossenen Punkte zu zählen, die aus 4-x abgeleitet werden können, müssen Sie eine Kombinatorik anwenden. Bei dieser Aufgabe wird die kombinatorische Arithmetik verwendet, nämlich eine Formel zum Zählen von Kombinationen mit Wiederholungen.
Wiederholungskombinationen (oder Wiederholungskombinationen) sind Kombinationen, bei denen Elemente wiederholt werden können. Die Formel für die Berechnung der Anzahl der Kombinationen mit Wiederholungen wird wie folgt angegeben:
Cn k = Cn+k-1 k , wo
- Cn k - anzahl der Kombinationen mit Wiederholungen,
- n - anzahl der möglichen Werte für jedes Element,
- k - anzahl der Elemente kombiniert.
In unserem Fall müssen Sie die Werte in die Formel einfügen, um die Anzahl der verschiedenen geschlossenen Punkte aus 4 zu erhalten: n=4 und k=4.
Wir ersetzen die Werte in die Formel und lösen den Ausdruck:
C7 4 = 35
Es gibt also 35 verschiedene geschlossene Punkte, die aus 4 gewonnen werden können.
Analysieren von Kombinationen von offenen Punkten
Um Kombinationen von offenen Punkten aus 4 möglichen Kombinationen zu analysieren, können Sie die Kombinationsmethode ohne Wiederholungen verwenden. In diesem Fall können offene Punkte in zufälliger Reihenfolge angeordnet sein, können jedoch nicht übereinstimmen.
Betrachten wir alle Optionen:
- 1 offener Punkt: Es gibt nur 4 solcher Kombinationen - (A), (B), (C), (D).
- 2 offene Punkte: Es gibt insgesamt 6 solcher Kombinationen - (A, B), (A, C), (A, D), (B, C), (B, D), (C, D).
- 3 offene Punkte: Es gibt insgesamt 4 solcher Kombinationen - (A, B, C), (A, B, D), (A, C, D), (B, C, D).
- 4 offene Punkte: nur eine Kombination ist (A, B, C, D).
So können aus 4 Punkten nur 15 Kombinationen von offenen Punkten erhalten werden.
Analysieren von Kombinationen geschlossener Punkte
Bei der Analyse von Kombinationen von geschlossenen Punkten, die aus 4 Punkten abgeleitet werden, können Sie die folgenden Situationen hervorheben:
- Wenn alle 4 Punkte eine geschlossene Form mit einer inneren Leere bilden, gibt es keine solchen Kombinationen.
- Wenn drei Punkte eine geschlossene Form bilden und sich der vierte Punkt innerhalb dieser Form befindet, gibt es keine solchen Kombinationen.
- Wenn drei Punkte eine geschlossene Form bilden und sich der vierte Punkt an der Grenze dieser Form befindet, dann gibt es 2 solcher Kombinationen (jeder der verbleibenden Punkte kann an der Grenze liegen).
- Wenn zwei Punkte eine geschlossene Form bilden und sich die anderen beiden Punkte außerhalb dieser Form befinden, gibt es 4 solcher Kombinationen (jedes Punktpaar hat zwei Positionen).
- Wenn zwei Punkte eine geschlossene Form bilden und sich die anderen beiden Punkte innerhalb dieser Form befinden, gibt es keine solchen Kombinationen.
- Wenn zwei Punkte eine geschlossene Form bilden und sich die anderen beiden Punkte an der Grenze dieser Form befinden, dann sind diese Kombinationen 1.
- Wenn ein Punkt eine selbst geschlossene Figur bildet, dann gibt es 2 solcher Kombinationen (Schließungen sind im Uhrzeigersinn und gegen den Uhrzeigersinn möglich).
- Wenn ein Punkt eine geschlossene Form mit einem anderen Punkt bildet, dann gibt es 2 solcher Kombinationen.
Es sind insgesamt 11 Kombinationen von geschlossenen Punkten möglich, die aus 4 gewonnen werden.
Kombinationen von offenen Punkten ohne Wiederholungen
Wenn Sie mögliche Kombinationen von offenen Punkten ohne Wiederholungen von 4 Elementen betrachten, können Sie die mathematische Methode der Kombinatorik verwenden.
Um die Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholungen zu erhalten, können Sie die Formel für die Kombination von n Elementen nach k verwenden:
- Cn k ist die Anzahl der Kombinationen von n Elementen nach k ohne Wiederholungen.
- n ist die Gesamtzahl der Elemente.
- k ist die Anzahl der Elemente in jeder Kombination.
- ! - Faktorzahl.
In unserem Fall haben wir 4 offene Punkte und wollen die Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholungen finden.
Ersetzen Sie die Werte in die Formel:
So können von 4 offenen Punkten nur 4 Kombinationen ohne Wiederholungen erhalten werden. Diese Kombinationen werden:
Jeder Punkt ist eine separate Kombination ohne Wiederholungen. Es ist wichtig zu beachten, dass die Reihenfolge der Punkte keine Rolle spielt, da wir Kombinationen ohne Wiederholungen betrachten.
Kombinationen von geschlossenen Punkten ohne Wiederholungen
Um Kombinationen von geschlossenen Punkten ohne Wiederholungen von 4 Punkten zu erhalten, können wir die Theorie der Kombinatorik verwenden.
Betrachten wir einen Fall, in dem alle Punkte einzigartig sind.
- Die Anzahl der Möglichkeiten, 2 Punkte aus 4 auszuwählen, ist 4 C2 = 6.
- Die Anzahl der Möglichkeiten, 3 Punkte aus 4 auszuwählen, ist 4 C3 = 4.
- Die Anzahl der Möglichkeiten, 4 Punkte aus 4 auszuwählen, ist 4 C4 = 1.
Es gibt also 6 Möglichkeiten, Kombinationen von 2 geschlossenen Punkten zu erhalten, 4 Möglichkeiten, Kombinationen von 3 geschlossenen Punkten zu erhalten und 1 Möglichkeit, eine Kombination von 4 geschlossenen Punkten zu erhalten, wenn alle Punkte eindeutig sind.
Wenn sich in der ursprünglichen Menge doppelte Punkte befinden, hängt die Anzahl der Methoden von den eindeutigen Punkten ab.
Berechnung der Gesamtzahl der Punkte
Um die Anzahl der verschiedenen offenen und geschlossenen Punkte zu bestimmen, die aus 4 Punkten gewonnen werden können, können Sie eine einfache Kombinatorikformel verwenden. In diesem Fall betrachten wir alle möglichen Kombinationen von Punkten, die aus diesen Bedingungen abgeleitet werden können.
Betrachten wir zunächst die Anzahl der verschiedenen offenen Punkte, die aus 4 Punkten gewonnen werden können. Ein offener Punkt ist ein Punkt, der keine geschlossenen Linien mit anderen Punkten bildet. Sie können die Anzahl der verschiedenen offenen Punkte mit einer Kombinationsformel ohne Wiederholungen berechnen:
Wo Cn k - dies ist die Anzahl der Kombinationen eines Satzes von n elemente nach k Elemente.
In unserem Fall, n = 4 und k = 2, da wir nach Kombinationen von 2 Punkten suchen:
C4 2 = 4! / (2! * (4 - 2)!)
Wenn wir diesen Ausdruck auswerten, erhalten wir:
C4 2 = 4! / (2! * 2!) = 24 / (2 * 2) = 6
So können Sie aus 4 Punkten 6 verschiedene offene Punkte erhalten.
Betrachten wir als Nächstes die Anzahl der verschiedenen geschlossenen Punkte, die aus 4 gewonnen werden können. Ein geschlossener Punkt ist ein Punkt, der geschlossene Linien mit anderen Punkten bildet. Sie können die Anzahl der verschiedenen geschlossenen Punkte mithilfe der Formel für die Kombination mit Wiederholungen berechnen:
Wo Cn+k-1 k - dies ist die Anzahl der Kombinationen eines Satzes von n elemente mit Wiederholungen k Elemente.
In unserem Fall, n = 4 und k = 2, da wir nach Kombinationen von 2 Punkten suchen:
C4+2-1 2 = (4 + 2 - 1)! / (2! * (4 - 1)!)
Wenn wir diesen Ausdruck auswerten, erhalten wir:
C5 2 = 5! / (2! * 3!) = 120 / (2 * 6) = 10
So können aus 4 Punkten 10 verschiedene geschlossene Punkte erhalten werden.
Wenn wir die Anzahl der verschiedenen offenen und geschlossenen Punkte addieren, erhalten wir die Gesamtzahl der Punkte, die aus 4 Punkten erhalten werden können:
Gesamtzahl der Punkte = Anzahl der offenen Punkte + Anzahl der geschlossenen Punkte = 6 + 10 = 16
