Der Beweis für die Existenz einer Grenze basiert auf der Definition der Sequenz-Grenze. Die Sequenz konvergiert zu der Zahl A, wenn für eine positive Zahl ε eine Nummer N vorhanden ist, ab der alle Elemente der Sequenz in ε liegen -die Nachbarschaft der Zahl A. Das heißt, für jedes ε > 0 gibt es eine natürliche Zahl N, so dass |a_n - A| < ε für alle n > N erfüllt ist.
Um zu beweisen, dass die Grenze der Sequenz existiert, müssen Sie die Definition der Grenze und die Sequenz so verwenden, dass eine Zahl A gefunden wird, für die die Sequenz sich zu nähern versucht, egal wie klein ε ist. Im Allgemeinen kann der Nachweis der Existenz einer Grenze mit elementaren Methoden wie dem Ersetzen einer Variablen, der Verwendung von Grenzwerteigenschaften, Ungleichungen und so weiter durchgeführt werden.
Definieren der Sequenz-Grenze
Formal wird gesagt, dass die Zahl a ist die Grenze der Sequenz n>, wenn für eine positive Zahl ε es gibt eine Nummer N ab dem alle Mitglieder der Sequenz beginnen xn unterscheiden sich von der Zahl a weniger als ε. Dies wird als geschrieben:
- Für jedermann ε > 0 es gibt eine solche Zahl N was für alle n > N ungleichheit wird ausgeführt:
- |xn - a| < ε
Eine solche Definition kann wie folgt umformuliert werden: das Sequenz-Limit ist eine Zahl, die unendlich nahe an einer unendlichen Anzahl von Termen der Sequenz liegt.
Eigenschaften der Sequenz-Grenze
Sequenzgrenzen haben eine Reihe von Eigenschaften, die die Analyse ihres Verhaltens vereinfachen. Betrachten Sie einige grundlegende Eigenschaften von Sequenzgrenzen:
| Eigenschaft | Die Beschreibung |
|---|---|
| Eindeutigkeit | Das Sequenzlimit ist eindeutig definiert und hängt nicht von der Auswahl der Sequenzelemente ab. Wenn die Sequenz eine Grenze hat, ist sie eins und nur eins. |
| Beschränktheit | Wenn die Sequenz eine Grenze hat, ist sie begrenzt. Das heißt, die Sequenzwerte sind oben oder unten begrenzt. |
| arithmetische Operation | Die Grenzen der Summe, der Differenz, des Produkts oder der privaten zweier Sequenzen entsprechen den entsprechenden Operationen für ihre Grenzen. |
| Zum Limit gehen | Wenn die Sequenz eine Grenze hat, kann die Grenze für die Zeichen von arithmetischen Operationen, Potenz, Exponenten und Logarithmus verwendet werden. |
Die Kenntnis der Eigenschaften von Sequenzgrenzen ermöglicht es, Aufgaben aus verschiedenen Bereichen der Mathematik, Physik und anderer Wissenschaften effektiv zu lösen.
Begrenzung der Sequenz-Begrenzung
Sie können eine Grenzwertdefinition verwenden, um zu beweisen, dass die Grenzwertgrenze der Sequenz begrenzt ist. Lass die Sequenz gegeben sein , die eine Grenze hat L. Dann gibt es eine Zahl N, was für alle Indizes gilt n > N bedingung erfüllt |a_n - L| < 1.
Da die Sequenz ein Limit für den Index hat N wird ausgeführt |a_n - L| < 1. Beachten Sie, dass für alle n > N ungleichheit wird ausgeführt |a_n - L/ < 1, indem man es für n_1 erhaltener |a_n_1 - L| < 1.
Beweis für die Existenz einer Grenze nach dem Satz der komprimierten Sequenz
Wenn die Grenzen der beiden Begrenzungssequenzen gleich sind: lim(bn) = L und lim(cn) = L, dann existiert die Grenze der ursprünglichen Sequenz und ist gleich L.
Der Beweis für diesen Satz basiert auf der Definition der Sequenzgrenze und den Eigenschaften von Ungleichungen. Die Idee ist, dass, wenn die Sequenzzahlen an alle liegen dazwischen bn und cn dann sollte die Sequenzgrenze zwischen den Sequenzgrenzen liegen bn und cn.
Daher kann die Anwendung des prägnanten Sequenzsatzes den Prozess des Beweises der Existenz einer Sequenzgrenze erheblich vereinfachen und dazu beitragen, ihre Bedeutung aufzudecken.
