Viele von uns haben in der Schule Multiplikationstabellen gelehrt, Prozentsätze gefunden und einfache Gleichungen gelöst. Wenn es jedoch darum geht, die Wurzel aus einer Zahl zu berechnen, fühlen sich viele von uns unsicher. Aber keine Angst, denn die Wurzel von 2 ohne einen Taschenrechner zu lernen, ist nicht so schwierig, wie es scheint.
Es scheint, dass es notwendig ist, komplexe mathematische Formeln zu kennen, um eine Wurzel aus 2 zu berechnen. Tatsächlich gibt es einige einfache Möglichkeiten, den ungefähren Wert der Wurzel von 2 herauszufinden, ohne einen Taschenrechner zu verwenden.
Eine der einfachsten Methoden ist die Verwendung der Iterationsmethode. Wir beginnen mit einem Wert wie 1 und erhöhen ihn schrittweise, bis der resultierende Wert nahe genug an der Wurzel von 2 liegt. Obwohl diese Methode einige Zeit in Anspruch nehmen kann, erfordert sie keine besonderen mathematischen Kenntnisse und kann auch von denen verwendet werden, die sich in Mathematik nicht sicher fühlen.
Lernen Sie die wichtigsten Wege kennen
Eine der einfachsten Methoden ist die Verwendung der binären Suchmethode. Diese Methode basiert auf der Segmenttrennung [1, 2] in der Hälfte und im anschließenden Vergleich der resultierenden Zahl mit der Wurzel von 2. Wenn die Zahl größer als die Wurzel von 2 ist, befindet sich die Wurzel in der linken Hälfte des Segments, andernfalls in der rechten Hälfte. Der Vorgang wird wiederholt, bis die erforderliche Genauigkeit erreicht ist.
Eine andere Methode ist die Newton-Methode. Es basiert auf der Zerlegung der Funktion f(x) = x^2 - 2 in eine Taylor-Reihe und der anschließenden Verwendung der iterativen Formel x_(n+1) = x_n - f(x_n) / f'(x_n). Die Anfangsnäherung von x_0 wird zufällig ausgewählt, z. B. mit 1. Bei ausreichender Anzahl von Iterationen ermöglicht die Newton-Methode, einen ungefähren Wurzelwert von 2 mit hoher Genauigkeit zu erhalten.
Es gibt auch andere Möglichkeiten, wie rationale Annäherungen, Reihenmethoden und den Satz des Pythagoras. Einige dieser Methoden erfordern komplexe mathematische Berechnungen und eignen sich nicht für eine schnelle Berechnung. Jeder von ihnen bietet jedoch seinen eigenen einzigartigen Ansatz für die ungefähre Berechnung der Wurzel von 2, ohne einen Taschenrechner zu verwenden.
Potenzierung
Sie können die Eigenschaften von Graden verwenden, um die Wurzel der beiden zu berechnen. Wenn wir zum Beispiel die Zahl 2 auf eine Potenz von 0.5 erhöhen, erhalten wir die Wurzel von zwei. Daher ist der Wurzelwert der beiden gleich 2 in der Potenz von 0.5.
Sie können eine Schleife oder Rekursion verwenden, um eine Zahl in eine Potenz zu setzen. Hier ist ein Beispielcode in Python, der den Stammwert aus den beiden berechnet:
def square_root(n): guess = n / 2 while abs(guess * guess - n) > 0.0001: guess = (guess + n / guess) / 2 return guess result = square_root(2)
In diesem Code verwenden wir die Newton-Methode, um die Wurzel zu berechnen. Zuerst setzen wir den Anfangswert für die geschätzte Wurzel (guess) und finden dann in einer Schleife einen genaueren Wert, indem wir die Differenz zwischen dem Quadrat der geschätzten Wurzel und der ursprünglichen Zahl überprüfen.
Als Ergebnis der Codeausführung enthält die result-Variable den Wert 1.414213562373095. Dies ist ein ungefährer Wert für die Wurzel der beiden.
Geometrische Konstruktion
Schritte zum geometrischen Zeichnen:
- Beginnen Sie mit einem AC-Schnitt, der 1 Einheit lang ist.
- Ziehen Sie die CB-senkrecht vom Punkt C.
- Konstruiere das Dreieck ABC.
- Führen Sie dann eine gerade CD senkrecht zum AC-Abschnitt durch, so dass der BCD-Winkel 45 Grad beträgt.
- Streichen Sie nun eine gerade AD, die die gerade CD am Punkt E kreuzt.
- Das AE-Segment ist der ungefähre Wurzelwert von 2.
Durch die Verwendung einer geometrischen Konstruktion ist es daher möglich, den ungefähren Wurzelwert von 2 zu erhalten, ohne einen Taschenrechner zu verwenden.
Ungewöhnliche Methoden
Die Methode für die Flächen von Rechtecken
Eine der ungewöhnlichen Methoden, um eine Quadratwurzel aus 2 zu finden, ist die Methode der Quadrate von Rechtecken. Nehmen Sie dazu ein Quadrat mit der Seite 1 und teilen Sie es in zwei Teile auf, so dass das Verhältnis der Fläche des größten Teils zur Fläche des kleineren gleich 2 ist.
Sei die Seite des größten Teils x, dann ist die Fläche dieses Teils x^2. Die Fläche des kleineren Teils wird gleich (1 - x)^ 2 sein, da die Summe der Flächen der beiden Teile der Fläche des gesamten Quadrats entsprechen muss, die 1 ist.
Damit das Flächenverhältnis gleich 2 ist, muss die folgende Gleichung gelöst werden:
Wenn wir diese Gleichung lösen, finden wir den Wert x, der der ungefähre Wert der Wurzel von 2 ist.
Die Methode der kontinuierlichen Brüche
Eine andere ungewöhnliche Methode, um die Wurzel von 2 zu finden, ist die Methode der kontinuierlichen Brüche. Bei dieser Methode wird die Wurzel von 2 als unendlicher Kettenbruch dargestellt:
√2 = 1 + 1 / (2 + 1 / (2 + 1 / (2 + . )))
Es werden aufeinanderfolgende Annäherungen an diesen Bruch genommen und mit ihrer Hilfe werden die ungefähren Werte der Wurzel von 2 gefunden. Ein längerer Kettenbruch ergibt eine genauere Annäherung.
Diese ungewöhnlichen Methoden, die Wurzel von 2 zu finden, können für Mathematikliebhaber interessant sein, aber für den täglichen Gebrauch ist es bequemer, einen Taschenrechner oder eine spezielle Software zu verwenden.
Verwenden von unendlichen Dezimalzahlen
Um die Wurzel von 2 ohne einen Taschenrechner herauszufinden, können Sie die Methode der unendlichen Dezimalstellen verwenden.
Die Idee ist, dass die Wurzel von 2 als unendlicher Dezimalbruch dargestellt werden kann, wobei die Nachkommastellen in einer Sequenz wiederholt werden.
Nehmen wir zunächst die Zahl 1 und teilen Sie sie durch 2. Wir bekommen 0,5.
Dann nehmen wir den Rest der Division und multiplizieren ihn mit 10. Wir erhalten die Nummer 5.
Wenn wir diesen Vorgang wiederholen, erhalten wir die folgenden Zahlen: 1, 4, 1, 4, 1, 4 und so weiter.
Daher kann die Wurzel von 2 als unendlicher Dezimalbruch geschrieben werden: 1.41421356.
Natürlich besteht der genaue Wurzelwert von 2 aus einer unendlichen Anzahl von Ziffern nach dem Komma, aber in Wirklichkeit wird normalerweise der ungefähre Wert von 1.41421356 verwendet.
Die Verwendung von unendlichen Dezimalzahlen ist eine Möglichkeit, die Wurzel von 2 ohne einen Taschenrechner zu berechnen. Es ist jedoch erwähnenswert, dass Sie spezielle Algorithmen und Methoden verwenden müssen, die über den Rahmen dieses Artikels hinausgehen, um die Wurzel von 2 genau zu berechnen.
Verwenden von rationalen Zahlen
Rationale Zahlen werden in vielen Bereichen verwendet, einschließlich Algebra, Geometrie, Physik und Wirtschaft. Sie ermöglichen es uns, Bruchwerte, die bei realen Aufgaben auftreten können, genau zu berechnen und zu beschreiben.
Es ist wichtig zu beachten, dass rationale Zahlen sowohl positiv als auch negativ sein können. Zum Beispiel kann die rationale Zahl -1/2 als Dezimalzahl von -0.5 dargestellt werden.
Die Arbeit mit rationalen Zahlen umfasst Additions-, Subtraktions-, Multiplikations- und Divisionsoperationen. Sie können auch die Grade rationaler Zahlen berechnen und die Wurzeln daraus extrahieren.
Um die Wurzel aus der Zahl 2 zu ermitteln, ohne einen Taschenrechner zu verwenden, können Sie Annäherungsmethoden oder Algorithmen verwenden, z. B. die Newton-Methode oder die Bisektionsmethode. Mit diesen Methoden können Sie den Wurzelwert annähernd berechnen.
Die Verwendung von rationalen Zahlen ermöglicht es uns, mit Bruchwerten genauer zu arbeiten und die mathematischen Berechnungen zu vereinfachen. Das Wissen über rationale Zahlen und ihre Eigenschaften ist ein wichtiger Bestandteil der mathematischen Bildung und kann in vielen alltäglichen Situationen von Vorteil sein.
