Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten parallel und in der Länge gleich sind. Eine der wichtigsten Eigenschaften eines Parallelogramms ist seine Fläche. Der Beweis, dass die Fläche eines Parallelogramms gleich dem Produkt von zwei Seiten ist, basiert auf der Verwendung der Ähnlichkeit von Dreiecken in einem Parallelogramm.
Stellen wir uns zunächst ein Parallelogramm vor, das in zwei Dreiecke mit einer Gesamthöhe geschnitten ist. Jedes dieser Dreiecke hat eine Basis, die einer der parallelen Seiten des Parallelogramms entspricht. Somit ist die Fläche jedes Dreiecks gleich der Hälfte des Produkts der Länge seiner Basis bis zur Höhe.
Beachten Sie nun, dass die Basis eines Dreiecks gleich einer Seite des Parallelogramms ist und die Höhe des Dreiecks gleich der anderen Seite des Parallelogramms ist, da sie parallel sind. Daher ist die Fläche jedes Dreiecks gleich der Hälfte des Produkts der Längen der beiden Seiten des Parallelogramms.
Parallelogramm: definition und Eigenschaften
Grundlegende Eigenschaften eines Parallelogramms:
- Die gegenüberliegenden Seiten sind parallel und in der Länge gleich.
- Die entgegengesetzten Winkel des Parallelogramms sind gleich.
- Die Summe der Winkel eines Parallelogramms beträgt 360 Grad.
- Die Diagonalen des Parallelogramms sind in zwei Hälften geteilt.
- Die Fläche eines Parallelogramms entspricht dem Produkt der Längen einer seiner Seiten auf der Höhe, die zu dieser Seite gezogen wurde.
Um zu beweisen, dass die Fläche eines Parallelogramms gleich dem Produkt von zwei Seiten ist, können Sie die folgenden Schritte verwenden:
- Betrachten Sie ein Parallelogramm mit beliebigen Seiten a und b.
- Lassen Sie uns ein Parallelogramm der Höhe von den Eckpunkten zeichnen, das senkrecht zu den gegenüberliegenden Seiten steht.
- Wir erhalten zwei Dreiecke, bei denen die Basen den Seiten a und b gleich sind.
- Die Flächen dieser Dreiecke sind gleich der Hälfte des Basisprodukts in Höhe.
- Wenn wir diese Flächen zusammenfassen, erhalten wir die Fläche eines Parallelogramms.
- Somit ist die Fläche eines Parallelogramms gleich dem Produkt seiner beiden Seiten.
Formel zur Berechnung der Fläche eines Parallelogramms
Es gibt eine einfache Formel, mit der Sie die Fläche eines Parallelogramms finden können:
- Multiplizieren Sie die Länge einer Seite mit der Höhe des Parallelogramms, das auf dieser Seite weggelassen wird.
- Der resultierende Wert ist die Fläche eines Parallelogramms, ausgedrückt in quadratischen Einheiten.
Die Formel kann wie folgt geschrieben werden:
S = a * h
- S - fläche des Parallelogramms;
- a - länge einer Seite;
- h - die Höhe des Parallelogramms, das auf diese Seite gesenkt wurde.
Wenn Sie also die Länge der Seiten und den Winkel eines Parallelogramms kennen, können Sie seine Fläche mit dieser Formel leicht berechnen.
Beweis der Formel durch Berücksichtigung der Basen und der Höhe
Wir haben ein Parallelogramm mit den Basen AB und CD und einer Höhe, die von der Spitze von A auf die Basis von CD abgesenkt wird.
Wir bezeichnen die Längen der Seiten des Parallelogramms wie folgt:
| AB | = | a |
| CD | = | b |
| AD (Höhe) | = | h |
Die Fläche eines Parallelogramms kann als Produkt der Länge einer der Basen für die Länge der Höhe berechnet werden, dh:
S = AB × AD = a × h
Beachten Sie, dass die AB-Seite parallel und gleich der CD-Seite ist, daher:
Jetzt ersetzen wir diesen Wert zurück in die Formel für die Fläche:
So haben wir bewiesen, dass die Fläche eines Parallelogramms dem Produkt der Länge seiner Basis mit der Länge der Höhe entspricht, dh S = a × h = b × h. Was zu beweisen war.
Beispiel für die Berechnung der Fläche eines Parallelogramms
Um die Fläche eines Parallelogramms zu berechnen, müssen Sie die Länge seiner beiden Seiten und den Winkel zwischen ihnen kennen.
Lassen Sie uns ein Parallelogramm mit den Seiten a und b und dem Winkel α zwischen ihnen haben.
Formel zur Berechnung der Fläche eines Parallelogramms:
- Berechnen Sie die Höhe von h, die von einem der Eckpunkte des Parallelogramms auf die gegenüberliegende Seite gezogen wurde. Sie können dazu die Formel h = b * sinα verwenden.
- Multiplizieren Sie die Länge der Seite a mit der Höhe h: S = a * h.
Daher nimmt die Formel zur Berechnung der Fläche eines Parallelogramms die Form an:
Wobei S die Fläche des Parallelogramms ist, a und b die Längen seiner Seiten sind, α der Winkel zwischen den Seiten a und b ist.
Mit dieser Formel können Sie die Fläche eines beliebigen Parallelogramms berechnen, indem Sie die Seiten und den Winkel zwischen ihnen kennen.
