Asymmetrie und Exzess sind zwei wichtige Konzepte in der Statistik, die helfen, die Form der zufälligen Größenverteilung zu beschreiben. Die Asymmetrie spiegelt den Grad der Abweichung der Verteilung von der Symmetrie wider, während der Exzess zeigt, wie "scharf" oder "flach" die Schwänze der Verteilung sind.
Die Asymmetrie kann positiv oder negativ sein. Eine positive Asymmetrie bedeutet, dass sich der Verteilungsschwanz nach rechts erstreckt, während eine negative Asymmetrie den nach links verlaufenden Schwanz anzeigt. Wenn die Verteilung symmetrisch ist, ist der Asymmetriewert Null. Die Asymmetrie wird anhand statistischer Indikatoren wie des Pearson-Asymmetriekoeffizienten und des Fisher-Asymmetriekoeffizienten gemessen.
Der Exzess spiegelt die Schärfe oder Ebene des Verteilungsscheitels wider. Ein positiver Exzess weist auf scharfe Spitzen und dicke Schwänze der Verteilung hin, während ein negativer Exzess mit flachen Spitzen und dünnen Schwänzen zu tun hat. Wenn die Verteilung normal ist, ist der Exzess Null. Die Hauptindikatoren für den Exzess sind der Pearson-Exzess-Koeffizient und der Fisher-Exzess-Koeffizient.
Asymmetrie und Exzess sind wichtige Maßnahmen für die Analyse und Interpretation von Daten. Sie ermöglichen es uns, die Form der Verteilung besser zu verstehen und Anomalien oder Merkmale der Daten aufzudecken. Wenn wir diese Konzepte kennen, können wir fundiertere Entscheidungen treffen und anhand statistischer Analysen genauere Vorhersagen treffen.
Asymmetrie in der Statistik
Um den Grad der Asymmetrie zu messen, wird ein Asymmetriewert verwendet, der positive, negative und Nullwerte annehmen kann. Wenn der Asymmetriewert Null ist, ist die Verteilung symmetrisch. Wenn der Asymmetriewert positiv ist, ist die Verteilung nach rechts abgeschrägt, wenn sie negativ ist, nach links.
Sie können ein Balkendiagramm oder ein Schnurrbart-Box-Diagramm verwenden, um die Asymmetrie der Daten visuell zu bewerten. Mit einem Balkendiagramm können Sie die Form der Verteilung bewerten, und mit einem Schnurrbart-Box-Diagramm können Sie Asymmetrien in verschiedenen Datengruppen vergleichen.
Die Asymmetrie ist daher ein wichtiger Indikator, mit dem Sie abschätzen können, wie weit die Daten von der symmetrischen Verteilung abweichen und die Wahl der statistischen Analyse beeinflussen.
Was ist Asymmetrie?
Die Asymmetrie kann positiv oder negativ sein, je nachdem, in welche Richtung die Verteilung abgelehnt wird. Eine positive Asymmetrie bedeutet, dass der rechte Schwanz der Verteilung länger ist als der linke, während eine negative Asymmetrie den langen linken Schwanz anzeigt.
Nehmen wir zum Beispiel eine Verteilung mit positiver Asymmetrie, bei der die meisten Werte links vom Mittelwert zentriert sind und der rechte Schwanz länger ist. Ein Beispiel für eine solche Verteilung könnte das Einkommen von Menschen in einem kleinen Dorf sein, in dem die meisten Einwohner ein niedriges Einkommen haben, aber es gibt eine kleine Anzahl von Menschen mit sehr hohem Einkommen.
Asymmetrie ist ein wichtiger Parameter zum Verständnis der Form der Datenverteilung und kann zur Vorhersage und Analyse statistischer Modelle verwendet werden. Die Messung der Asymmetrie kann den Forschern helfen festzustellen, welche Daten abnormal oder Ausreißer in der Verteilung sein können.
Wie wird Asymmetrie gemessen?
Es gibt verschiedene Methoden zur Messung der Asymmetrie, aber das gebräuchlichste ist der Pearson-Asymmetriekoeffizient. Es wird berechnet, indem das Maß für den Mittelwert und den Median der Datenverteilung verglichen wird.
Der Pearson-Asymmetrie-Koeffizient (schräge) ist gleich dem dritten zentralen Moment geteilt durch die Standardabweichung im Würfel. Wenn der Asymmetriefaktor Null ist, wird die Verteilung als symmetrisch betrachtet. Ein positiver Koeffizientwert gibt eine rechtsseitige Asymmetrie (nach rechts ausgestreckt) an, ein negativer Wert eine linkseitige Asymmetrie (nach links gestreckt).
Andere Methoden zur Messung der Asymmetrie sind der Exzess-Faktor, der verwendet wird, um die Schärfe der Verteilungsspitze zu bestimmen, sowie Methoden, die auf der Quantifizierung der Abweichung von der Symmetrie basieren, wie die absolute Abweichung von der Symmetrie und der Asymmetrieindex.
Exzess in der Statistik
Wenn der Exzess positiv ist, bedeutet dies, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung schwerere Schwänze und schärfere Spitzen aufweist als die Normalverteilung. Der Verteilungsscheitelpunkt wird relativ zum Mittelwert nach links verschoben. Eine solche Verteilung wird als "Insel" oder "blütenblattförmig" bezeichnet.
Wenn der Exzess negativ ist, hat die Wahrscheinlichkeitsverteilung flachere Schwänze und eine konvexe Scheitelform als die Normalverteilung. Der Verteilungsscheitelpunkt wird relativ zum Mittelwert nach rechts verschoben. Diese Verteilung wird als "flach" oder "flach" bezeichnet.
Der Exzess ist ein wichtiges Merkmal in der Statistik, da er es ermöglicht, Unterschiede zwischen Verteilungen festzustellen und festzustellen, wie weit sie von der normalen Verteilung abweichen. Solche Abweichungen können in einer Vielzahl von Bereichen nützlich sein, einschließlich Finanzen, Medizin und Soziologie.
Was ist ein Exzess?
Ein positiver Exzess tritt auf, wenn die Verteilung schärfere Spitzen und schwerere Schwänze aufweist als die normale Verteilung. Das heißt, die Stichprobenwerte sind konzentrierter um den Mittelwert herum, und es gibt eine große Anzahl extremer Werte in den Verteilungsschwänzen. Im Diagramm weist eine solche Verteilung einen höheren und schmaleren Peak als die normale Verteilung auf.
Ein negativer Exzess tritt dagegen auf, wenn die Verteilung weniger scharfe Spitzen und leichtere Schwänze aufweist als die normale Verteilung. Die Stichprobenwerte sind gleichmäßiger um den Mittelwert verteilt, und es gibt keine signifikanten Abweichungen vom Mittelwert in den Verteilungsschwänzen. Grafisch hätte eine solche Verteilung einen flacheren und breiteren Peak als eine normale Verteilung.
Ein Exzess ist ein wichtiger Indikator für die Verteilungsform und kann verwendet werden, um Daten zu analysieren und ihre Eigenschaften zu bestimmen. Es kann auch nützlich sein, wenn Hypothesen über die Normalität der Verteilung überprüft oder die am besten geeignete statistische Methode zur weiteren Analyse der Daten ausgewählt wird.
Wie wird ein Exzess gemessen?
Die Kurtosis wird am vierten zentralen Moment der Größe gemessen, der als Summe der Differenzen jedes beobachtbaren Punktes vom Mittelwert definiert ist, der durch die Gesamtzahl der Beobachtungen auf den vierten Grad erhöht wird. Als nächstes wird der resultierende Wert des zentralen Moments durch das Quadrat der Varianz der in die zweite Potenz errichteten Größe geteilt. Daher wird die folgende Formel verwendet, um die Kurtosis zu bestimmen:
Kurtosis = (M4 / σ 4 ) - 3
Wo M4 - das vierte zentrale Moment der Größe, σ ist die Standardabweichung.
Ein positiver Kurtosis-Wert weist auf schärfere und konvexe Verteilungsschwänze hin, was auf das Vorhandensein schwerer Schwänze (schwere Emissionen) hinweist, die möglicherweise durch seltene Ereignisse verursacht werden. Ein negativer Wert weist dagegen auf flache und schmale Verteilungsschwänze hin, was bedeutet, dass es keine Emissionen gibt und eine Tendenz zur Normalität der Verteilung gibt.
Die Beziehung zwischen Asymmetrie und Exzess
Asymmetrie oder Abschrägung kennzeichnet eine Abweichung der probabilistischen Verteilung von der symmetrischen Form. Wenn die selektive Verteilung nach links verschoben ist, sprechen sie von einer linken Asymmetrie, wenn sie nach rechts von einer rechtsseitigen Asymmetrie stammt. Ein Asymmetriewert von 0 bedeutet, dass die Stichprobe eine symmetrische Verteilung aufweist.
Der Exzess oder die Schärfe spiegelt den Grad der Schärfe der Wahrscheinlichkeitsverteilung wider. Wenn der Exzess gegen Null tendiert, hat die Verteilung die Form einer normalen Verteilung. Der positive Wert des Exzesses bedeutet, dass die selektive Verteilung schärfere Spitzen und schwerere Schwänze aufweist als die normale Verteilung. Der negative Wert des Exzesses deutet auf eine flachere und breitere Verteilung hin.
Es besteht eine Verbindung zwischen Asymmetrie und Exzess. Im Falle einer Normalverteilung ist die Asymmetrie 0 und der Exzess ist 3. In realen Daten kann es jedoch ein anderes Kommunikationsprofil zwischen diesen beiden Formmaßstäben geben. Zum Beispiel kann eine positive Asymmetrie sowohl von einem positiven als auch von einem negativen Exzess begleitet sein. Das Vorhandensein von Asymmetrie und Exzess in den Daten ermöglicht eine vollständigere Charakterisierung der Verteilung und ein besseres Verständnis ihrer Eigenschaften.
| Asymmetrie | Exzeß | Art der Verteilung |
|---|---|---|
| 0 | 0 | Normalverteilung |
| Positive | Mehr als 0 | Positiv abgeschrägte und scharfe Verteilung |
| Negative | Weniger als 0 | Negativ abgeschrägte und flache Verteilung |
Was ist die Verbindung zwischen Asymmetrie und Exzess?
Asymmetrie spiegelt den Grad der Abweichung der Daten von der Symmetrie wider. Wenn die Verteilung symmetrisch ist, liegt der Asymmetriewert nahe Null. Wenn die Verteilung nach rechts abgeschrägt ist (dh der größte Teil der Werte ist links vom Mittelwert zentriert), ist der Asymmetriewert positiv. Wenn die Verteilung nach links abgeschrägt ist (dh der größte Teil der Werte ist rechts vom Mittelwert zentriert), ist der Asymmetriewert negativ.
Der Exzess hingegen misst den Grad der Schärfe der Spitze der Verteilung. Wenn die Daten einen flacheren Scheitelpunkt als die normale Verteilung haben, ist der Exzess negativ. Wenn die Daten einen schärferen Scheitelpunkt als die normale Verteilung haben, ist der Wert des Exzesses positiv. Die Normalverteilung hat einen Exzess von 0.
Während also Asymmetrie und Exzess unterschiedliche Aspekte der Datenverteilung messen, sind sie miteinander verbunden und können sich gegenseitig ergänzen. Um beispielsweise die Form der Verteilung vollständig zu beschreiben, müssen Sie sowohl den Wert der Asymmetrie als auch den Wert des Exzesses kennen.
