Der Akkord eines Kreises ist eine Linie, die zwei Punkte auf einem Kreis verbindet. Interessanterweise kann man die Länge eines beliebigen Akkords entlang des Radius des Kreises finden. Um dies zu tun, müssen Sie nur ein paar Formeln kennen und einige mathematische Operationen anwenden.
Der erste Schritt zur Berechnung der Sehnenlänge entlang des Radius besteht darin, die Länge des Segments zu finden, das die Sehnenenden mit dem Mittelpunkt des Kreises verbindet. Dieser Schnitt wird als Durchmesser bezeichnet. Der Durchmesser entspricht dem doppelten Radius.
Nachdem Sie die Länge des Durchmessers gefunden haben, sollten Sie den Satz des Pythagoras für das Dreieck anwenden, das durch den Akkord, den Durchmesser und die Kante des Kreises gebildet wird. Nach diesem Satz ist das Quadrat der Sehnenlänge gleich der Differenz zwischen dem Quadrat der Durchmesserlänge und dem Quadrat des Radius.
Was ist die Sehne eines Kreises?
Eigenschaften der Sehne:
- Die Sehne kann beliebig lang sein, einschließlich der Länge Null (wenn die Punkte übereinstimmen) und der maximalen Länge (wenn die Sehne mit dem Kreis übereinstimmt).
- Der Akkord teilt den Kreis in zwei Bögen, einen kleineren und einen größeren. Die Länge jedes Bogens hängt von der Länge der Sehne und der Position der Punkte ab, die er verbindet.
- Wenn der Akkord durch die Mitte des Kreises verläuft, wird er als Durchmesser bezeichnet. In diesem Fall ist die Sehnenlänge gleich dem Durchmesser.
- Der Winkel zwischen dem Akkord und dem Radius, der zur Mitte des Kreises gezogen wird, ist ein eingeschriebener Winkel und wird als Neumann-Winkel bezeichnet. Für eine Sehne, die keinen Durchmesser hat, ist Neumanns Winkel immer kleiner als 180 Grad.
Die Verwendung der Akkord eines Kreises ermöglicht es Ihnen, verschiedene geometrische Probleme zu lösen, einschließlich der Berechnung der Akkord-Länge nach einem bestimmten Radius oder der Suche nach einem Radius, wenn die Akkord-Länge und die Höhe über dem Akkord angegeben sind.
Definition und Eigenschaften
| Mitte des Akkords | befindet sich in einem Abstand, der dem Radius des Kreises vom Mittelpunkt entspricht |
| Durchmesser | eine besondere Sehnenart, die durch die Mitte des Kreises verläuft |
| Seitlicher Akkord | eine Sehne, die kein Durchmesser ist |
| Sehnenlänge | der Abstand zwischen seinen beiden Enden entlang des Kreises |
Die Definition und Eigenschaften der Sehne sind wichtige Konzepte in der Geometrie und finden breite Anwendung in verschiedenen mathematischen Problemen und Anwendungen.
Wie finde ich die Länge der Sehne eines Kreises
Die Formel zur Berechnung der Sehnenlänge eines Kreises lautet wie folgt:
L = 2 * r * sin(α / 2)
Um diese Formel zu verwenden, müssen Sie den Radius des Kreises und den Winkel kennen, der auf dem Akkord basiert. Wenn der Winkel unbekannt ist, kann er berechnet werden, indem man die Länge der Sehne und den Radius des Kreises kennt:
α = 2 * asin(L / (2 * r))
Jetzt, da wir den Radius und den Winkel oder die Länge der Sehne kennen, können wir die Länge der Sehne eines Kreises leicht berechnen. Diese Informationen können in Geometrie, Konstruktion, Wissenschaft und anderen Bereichen nützlich sein.
Formel für die Berechnung
Es gibt eine einfache Formel, um die Länge der Sehne eines Kreises entlang des Radius zu berechnen:
- Suchen Sie den Radius des Kreises.
- Multiplizieren Sie den Radiuswert mit 2 (zwei).
- Multiplizieren Sie den resultierenden Wert mit dem Sinus des in diesen Akkord eingeschriebenen Winkels.
- Die resultierende Zahl ist die Länge der gewünschten Sehne des Kreises.
Also, die Formel zur Berechnung der Länge der Sehne eines Kreises nach Radius:
L = 2 * r * sin(α)
- L - länge des Akkords des Kreises;
- r - Kreisradius;
- α - in den Akkord eingeschriebener Winkel (in Grad).
Mit dieser Formel können Sie die Sehnenlänge eines Kreises leicht anhand eines bekannten Radius berechnen, was bei verschiedenen geometrischen Problemen nützlich sein kann.
Berechnungsbeispiel
Führen Sie die folgenden Schritte aus, um die Länge der Sehne eines Kreises entlang des Radius zu berechnen:
- Bestimmen Sie den Radius des Kreises und schreiben Sie ihn in eine Variable.
- Mit einer Formel zur Berechnung der Sehnenlänge: länge = 2 * Radius * sin(Winkel in den Radianen/2). finde den Winkel im Bogenmaß, der die Sehne mit dem zentralen Winkel bildet.
- Setzen Sie die Werte für Radius und Winkel in die Formel ein und führen Sie die erforderlichen mathematischen Operationen aus.
- Das resultierende Ergebnis ist die Länge der Sehne des Kreises.
Wenn der Radius des Kreises beispielsweise 5 ist und der Mittelwinkel 60 Grad beträgt, lautet die Berechnung wie folgt:
2. Winkel in den Radianen = 60 * (π/180) ≈ 1.047
3. Länge = 2 * 5 * sin(1.047/2) ≈ 5.878
Somit beträgt die Länge der Sehne des Kreises ungefähr 5.878 Einheiten.
Die Abhängigkeit der Sehnenlänge vom Radius
Die Länge der Sehne eines Kreises hängt von seinem Radius ab und kann mit Hilfe einer mathematischen Formel berechnet werden. Um die Länge einer Sehne zu bestimmen, müssen Sie den Radius des Kreises kennen und den Winkel, den die Sehne mit dem zentralen Winkel auf diesem Kreis umschließt.
Formel zur Berechnung der Sehnenlänge:
L = 2 * r * sin(a/2)
- L - länge des Akkords
- r - Kreisradius
- a - der Winkel, der von einem Akkord mit einem zentralen Winkel am Kreis eingeschlossen ist (im Bogenmaß)
Die Formel zeigt, dass die Länge des Akkords direkt proportional zum Radius des Kreises und dem Winkel des Akkords ist. Je größer der Radius, desto länger ist der Akkord.
Bei einem Kreisradius von r = 5 und einem Winkel von a = π / 4 (45 Grad) können Sie beispielsweise die Sehnenlänge anhand der Formel berechnen:
L = 2 * 5 * sin(π/8) ≈ 7.07
Bei diesen Werten für Radius und Winkel beträgt die Sehnenlänge ungefähr 7,07 Längeneinheiten.
Mit dieser Formel können Sie die Sehnenlänge eines Kreises für verschiedene Radius- und Winkelwerte bestimmen und eine Abhängigkeit von diesem Wert vom Radius festlegen.
Wie ändert sich die Sehnenlänge, wenn sich der Radius ändert
Die Länge der Sehne eines Kreises hängt vom Radius und dem Winkel ab, unter dem der Kreisbogen abgeschnitten wird. Der Akkord, der durch die Mitte des Kreises (Durchmesser) verläuft, hat eine maximale Länge, die dem Durchmesser des Kreises entspricht. Wenn der Radius vergrößert oder verkleinert wird, ändert sich auch die Sehne in ihrer Länge.
Wenn der Radius des Kreises zunimmt, nimmt auch die Sehnenlänge zu. Dies liegt daran, dass der Abstand zwischen zwei Punkten am Kreis (den Enden der Sehne) mit zunehmendem Radius ebenfalls zunimmt.
Im Gegenteil, wenn der Radius des Kreises abnimmt, nimmt die Sehnenlänge ab. Da der Abstand zwischen den Enden der Sehne mit abnehmendem Radius abnimmt.
Die Änderung der Akkord-Länge beim Ändern des Radius kann mathematisch mit der Formel ausgedrückt werden: L = 2 * R * sin (a / 2), wobei L die Akkord-Länge ist, R der Radius des Kreises ist und a der Winkel (im Bogenmaß) ist, unter dem der Akkord den Bogen des Kreises abschneidet.
Wenn sich also der Radius des Kreises ändert, ändert sich auch die Sehnenlänge entsprechend der Formel, wobei der Winkel berücksichtigt wird, unter dem der Akkord den Bogen des Kreises abschneidet.
Anwendung in der Praxis
- Geometrie und Architektur: Der Kreisradius und die Sehnenlänge werden verwendet, um die Größen und Formen von geometrischen Formen wie Kreisen, Sektoren und Bögen zu berechnen. Architekten und Ingenieure stützen sich bei der Erstellung von Gebäuden, Brücken und anderen Konstruktionen auf diese Berechnungen.
- Die Medizin: Bei einigen medizinischen Behandlungen im Zusammenhang mit der Behandlung von Hauterkrankungen kann die Sehnenlänge verwendet werden, um die Größe und den Bereich des beschädigten Bereichs zu bestimmen.
- Ingenieurwissenschaften: In der Technik, Physik und Computergrafik kann die Sehnenlänge ein wichtiger Parameter für die Modellierung und Gestaltung verschiedener Systeme und Geräte sein.
- Navigation und Vermessung: Wenn Sie Objekte auf einer Karte oder einem Raum positionieren, kann die Sehnenlänge eines Kreises verwendet werden, um die Abstände zwischen Punkten zu berechnen und Routen zu definieren.
Dies sind nur einige Beispiele für Bereiche, in denen das Wissen über die Formel zur Berechnung der Sehnenlänge eines Kreises nützlich sein kann. Das Verständnis und die Anwendung dieses mathematischen Prinzips wird bei der Arbeit in verschiedenen Berufen und alltäglichen Aufgaben helfen.
Beispiel für die Verwendung in Geometrie
Um die praktische Anwendung der Formel zur Berechnung der Sehnenlänge eines Kreises nach Radius in der Geometrie zu veranschaulichen, betrachten wir die folgende Aufgabe:
Lassen Sie einen Kreis mit einem angegebenen Radius vorhanden sein, der gleich ist r. Sie müssen die Länge der Sehne finden, die zwei Punkte auf einem Kreis verbindet, dessen Abstand der angegebenen Zahl entspricht a.
Um dieses Problem zu lösen, verwenden wir die Formel zur Berechnung der Sehnenlänge:
L = 2 * √(r^2 - (a/2)^2)
- L - gewünschte Sehnenlänge;
- r - Kreisradius;
- a - der Abstand zwischen den Punkten auf dem Kreis.
Wir wenden diese Formel auf ein bestimmtes Beispiel an. Lassen Sie einen Kreis mit einem Radius haben 5 und der angegebene Abstand zwischen den Punkten auf dem Kreis ist gleich 4. Wenn wir dann die Werte in die Formel einfügen, erhalten wir:
L = 2 * √(5^2 - (4/2)^2) = 2 * √(25 - 4) = 2 * √21 ≈ 9.165
Daher beträgt die Länge der Sehne, die die beiden Punkte auf dem Kreis mit diesen Parametern verbindet, ungefähr 9.165 Längeneinheit.
