Rechtwinklige Dreiecke gehören zu den häufigsten und am häufigsten untersuchten geometrischen Formen. Sie haben viele interessante Eigenschaften, und eine davon ist die Möglichkeit, die Länge des Katheters zu finden, wenn die Hypotenuse und der Winkel bekannt sind.
Um die Länge eines Katetts in einem rechteckigen Dreieck zu berechnen, müssen Sie die Länge der Hypotenuse und die Größe des Winkels zwischen der Hypotenuse und einer der Katheten kennen. Der Winkel wird normalerweise in Grad angegeben.
Sie müssen trigonometrische Funktionen wie Sinus und Kosinus anwenden, um dieses Problem zu lösen. Wenn der Sinus oder der Kosinus des Winkels und die Länge der Hypotenuse bekannt sind, kann die Länge des Katheters gefunden werden. Mit der Formel sin (α) = Gegenläufer / Hypotenuse oder cos (α) = Gegenläufer / Hypotenuse kann man die Länge des Katetts durch bekannte Werte ausdrücken.
Rechteckige Dreieckskette: Wie finde ich sie?
Wenn die Hypotenuse und ein Kathet bekannt sind, kann ein zweiter Kathet gefunden werden. Um dies zu tun, müssen Sie den Satz des Pythagoras verwenden. Die Formel lautet wie folgt:
a - zweiter Kathet;
b ist ein bekannter Kathet.
Um einen Kathet zu finden, müssen Sie die Wurzel aus der Differenz zwischen den Quadraten der Hypotenuse und dem bekannten Kathet extrahieren.
Es ist bekannt, dass die Hypotenuse 10 ist und eine der Katheten 6 ist. Wir werden das zweite Kathet finden:
a² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64
Somit ist der zweite Kathet 8.
Wenn die Hypotenuse und der Winkel bei dieser Hypotenuse bekannt sind, können Sie einen Katheter mit trigonometrischen Funktionen finden.
Wenn der Winkel der Hypotenuse ein rechter Winkel (90 °) ist, ist der Kathetenwinkel Null.
Wenn der Winkel bei der Hypotenuse ein scharfer Winkel ist, können Sie den Winkeltanz verwenden. Die Formel lautet wie folgt:
α ist der Winkel bei Hypotenuse.
Es ist bekannt, dass die Hypotenuse 5 ist und der Winkel bei der Hypotenuse 30 ° beträgt. Wir werden einen Katheter finden:
a = 5 * tg(30°) ≈ 2.89
Somit ist der Kathet ungefähr gleich 2.89.
Theorie des rechtwinkligen Dreiecks
Wenn die Hypotenuse und einer der Winkel bekannt sind, können Sie die Länge des Katheters mit trigonometrischen Funktionen finden.
Nehmen wir an, der Winkel zwischen der Hypotenuse und einer der Katheten wird 𝛼 genannt. Dann:
| Winkelfunktion | Formel |
|---|---|
| Sinus 𝛼 | sin(𝛼) = Kathetenlänge / Hypotenuse-Länge |
| Kosinus 𝛼 | cos(𝛼) = Länge des anderen Katheters / Länge der Hypotenuse |
| Tangens 𝛼 | tan(𝛼) = Länge des Katheters / Länge des anderen Katheters |
Mit diesen Formeln können Sie die Länge des Katheters finden, indem Sie die Länge der Hypotenuse und den Wert des Winkels 𝛼 kennen.
Hypotenuse ist bekannt
Wenn Ihnen die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks bekannt ist, können Sie die Werte von Katheten mithilfe von trigonometrischen Funktionen finden.
Verwenden Sie die folgenden Formeln, um die Kathete zu finden:
1. Kathete: a = hypotenuse * sin(Winkel)
Mit dieser Formel können Sie die Länge eines einzelnen Katheters ermitteln, wenn die Hypotenuse und der Sinuswert des Winkels bekannt sind, der diesem Katheter entgegensteht.
2. Kathete: b = hypotenuse * cos(Winkel)
Mit dieser Formel können Sie die Länge eines anderen Katheters ermitteln, wenn die Hypotenuse und der Kosinuswert des an diesen Katheter angrenzenden Winkels bekannt sind.
Sie haben also zwei Möglichkeiten, die Länge der Kathete zu finden, wenn die Hypotenuse und der Wert des entsprechenden trigonometrischen Werts bekannt sind. Denken Sie daran, die Maßeinheiten zu berücksichtigen und die Antwort bei Bedarf zu runden.
Winkel ist bekannt
Wenn die Hypotenuse und der Wert eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck bekannt sind, können Sie trigonometrische Verhältnisse verwenden, um einen Kathet zu bestimmen.
Verwenden Sie dazu die Sinus- oder Kosinusfunktion:
- Wenn Hypotenuse bekannt ist c und Winkel α. ein Kathet kann mit einer Formel gefunden werden: a = c * sin(α).
- Wenn Hypotenuse bekannt ist c und Winkel β. ein Kathet kann mit einer Formel gefunden werden: b = c * cos(β).
Wenn Sie die Bedeutung des Winkels und der Hypotenuse kennen, können Sie leicht die Länge des Katheters finden und die mit einem rechtwinkligen Dreieck verbundenen Probleme lösen.
Berechnung des Kathets durch Hypotenuse und Winkel
Wenn Sie die Hypotenuse und eine der Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks kennen, können Sie leicht die Bedeutung eines der Katheten finden. Dazu wird die trigonometrische Sinusfunktion (sin) verwendet.
Die Formel für die Berechnung des Kathetes durch die Hypotenuse und den Winkel lautet wie folgt:
* sin Seite = hypotenuse(Winkel)
- Seite - bedeutung des gewünschten Kathets;
- Hypotenuse - länge der bekannten Hypotenuse;
- der Winkel - der Wert eines bekannten Winkels, der in Bogenmaß oder Grad gemessen wird (abhängig von der verwendeten Funktion).
Zum Beispiel, wenn die Hypotenuse 5 ist und ein Winkel von 30 Grad bekannt ist, kann der Katheter mit der folgenden Formel berechnet werden:
seite = 5 * sin(30)
Daher ist der Kathetenwert unter diesen Bedingungen ungefähr 2.5.
Mit dieser Formel können Sie leicht die Werte eines rechtwinkligen Dreiecks in einer bekannten Hypotenuse und einem Winkel finden.
Berechnung des Kathets durch die Hypotenuse und die Winkeltanz
Folgen Sie den einfachen mathematischen Formeln, um den Katheter eines rechtwinkligen Dreiecks durch die Hypotenuse und die Tangente des Winkels zu finden.
Sei ein rechteckiges Dreieck mit einer Hypotenuse c und einem Winkel α gegeben.
Die Tangente des Winkels α ist gleich dem Verhältnis des entgegengesetzten Katheters a zum angrenzenden Katheter b:
Mit den Tangentialeigenschaften kann man a durch b ausdrücken:
Wenn wir die Länge der Hypotenuse c und den Winkel von α kennen, können wir den richtigen Kathet finden:
Also, um das Kathet durch die Hypotenuse und die Tangente des Winkels zu finden:
- Finde tg(α) mit der Formel tg(α) = a / b.
- Bestimmen Sie die Länge des Katheters b anhand der Formel b = c / √ (1 + tg2 (α)).
- Berechnen Sie den Wert von Kathet a, indem Sie b mit tg(α) multiplizieren: a = b * tg(α).
Jetzt wissen Sie, wie Sie mit der Hypotenuse und der Tangente des Winkels einen rechteckigen Dreieckskathett finden.
Berechnung des Kathets durch die Hypotenuse und den Sinus des Winkels
Wenn die Hypotenuse und der Winkel bekannt sind, können Sie den Sinus dieses Winkels verwenden, um den Katheter eines rechtwinkligen Dreiecks zu finden.
Der Sinus des Winkels wird durch das Verhältnis des entgegengesetzten Katheters zur Hypotenuse bestimmt:
sin(Winkel) = das Gegenteil von Kathette / hypotenuse
Daher können Sie die folgende Formel verwenden, um das Kathet zu berechnen:
das Gegenteil von Kathet = sin(Winkel) * hypotenuse
Um diese Formel zu verwenden, müssen Sie den Sinuswert eines Winkels kennen. Dies kann in Tabellen mit trigonometrischen Funktionen oder mit einem Taschenrechner gefunden werden, der trigonometrische Berechnungen unterstützt.
Nachdem Sie den Sinuswert des Winkels und die bekannte Länge der Hypotenuse gefunden haben, können Sie diese Werte in eine Formel einfügen und die Länge des gegenüberliegenden Katheters berechnen.
Wenn Sie also die Hypotenuse und den Sinus eines Winkels kennen, können Sie die Kathette eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen.
Beispiele für Berechnungen
Zur Verdeutlichung stellen wir Ihnen einige Beispiele für die Berechnung des rechtwinkligen Dreieckskathets vor, wenn die Hypotenuse und der Winkel bekannt sind:
- Beispiel 1: Gegeben:
- Hypotenuse: 10 Einheiten
- Winkel bei Hypotenuse: 30 Grad
Zur Berechnung eines rechtwinkligen Dreieckskathets nach der Formel sin(Winkel) = gegenläufiger Katheter / Hypotenuse:
sin(30) = kathete / 10;
kathete = 10 * sin(30) 5 5 Einheiten.
Antwort: Die Dreieckskathette ist ungefähr 5 Einheiten lang.
- Hypotenuse: 8 Einheiten
- Winkel bei Hypotenuse: 45 Grad
sin(45) = kathete / 8;
katheter = 8 * sin(45) 5. 5.66 Einheiten.
Antwort: Die Dreieckskathette ist ungefähr 5.66 Einheiten.
Anhand der obigen Beispiele können wir verstehen, dass bei einer bekannten Hypotenuse und einem Winkel die Länge eines rechtwinkligen Dreiecks leicht berechnet werden kann.
