Sinus – eine der wichtigsten trigonometrischen Funktionen, die das Verhältnis der Länge der gegenüberliegenden Seite zur Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ausdrückt. Was ist jedoch zu tun, wenn wir es zu tun haben gleichschenkliges Dreieck, der keine Höhe im gewohnten Verständnis hat?
Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem zwei Seiten gleich sind. Den Sinus eines Winkels in einem gleichschenkligen Dreieck ohne Höhe zu finden, ist eine ziemlich nicht triviale Aufgabe. Es gibt jedoch eine alternative Methode, mit der Sie den Sinuswert eines bestimmten Winkels bestimmen können.
Mit der Eigenschaft eines gleichschenkligen Dreiecks - die Winkel an der Basis sind gleich, können Sie eine Höhe erstellen, die die Bisektrise eines gegebenen Winkels darstellt. Wenn wir eine Bisektrix finden, können wir den ursprünglichen Winkel in zwei Winkel teilen, die einander gleich sind. Als nächstes können Sie den Sinus jedes dieser Winkel definieren, indem Sie die Formel für ein rechtwinkliges Dreieck verwenden. Wenn wir die Sinuswerte eines der resultierenden Winkel kennen, können wir den Sinuswert des ursprünglichen Winkels anhand entsprechender trigonometrischer Beziehungen bestimmen.
Der Sinus des Winkels in einem gleichschenkligen Dreieck
Der Sinus eines Winkels in einem gleichschenkligen Dreieck kann durch die bekannten Längen seiner Seiten gefunden werden. Es ist nicht notwendig, die Höhe eines Dreiecks zu verwenden, um dies zu tun, was in Abwesenheit dieser Informationen nützlich sein kann.
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Seiten einander gleich, und die dritte unterscheidet sich von ihnen. Wir bezeichnen die Seiten des Dreiecks: a, a und c.
Der Sinus eines Winkels in einem gleichschenkligen Dreieck kann mit einer Formel gefunden werden:
sin α = (c/2a)
wobei α der Winkel ist und c und a die Längen der Seiten des Dreiecks sind.
Wenn Sie die Längen der Seiten eines Dreiecks kennen, können Sie mit dieser Formel den Sinus eines Winkels berechnen. Diese Formel berücksichtigt das Seitenverhältnis eines Dreiecks und ermöglicht es Ihnen, den Sinuswert eines Winkels zu erhalten, ohne die Höhe des Dreiecks zu verwenden.
Wenn Sie den Sinuswert eines Winkels kennen, können Sie ihn verwenden, um verschiedene Probleme und Berechnungen in gleichschenkligen Dreiecken zu lösen.
Beachten Sie, dass diese Formel nur für gleichschenklige Dreiecke gilt. Bei einem ungleichen Dreieck führt die Verwendung dieser Formel nicht zu einem korrekten Ergebnis.
Der Sinus des Winkels und seiner Bedeutung
Der Sinuswert des Winkels liegt zwischen -1 und 1. Wenn der Winkel 0 Grad ist, ist der Sinus 0. Bei einem Winkel von 90 Grad ist der Sinus 1 und bei einem Winkel von 180 Grad ist der Sinus 0. In anderen Fällen liegt der Sinuswert zwischen diesen extremen Werten.
| Winkel, Grad | Sinus-Wert |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 30 | 0.5 |
| 45 | 0.707 |
| 60 | 0.866 |
| 90 | 1 |
| 120 | 0.866 |
| 135 | 0.707 |
| 150 | 0.5 |
| 180 | 0 |
Wenn Sie den Winkelwert kennen, können Sie eine Sinustabelle oder einen Rechner verwenden, um den Sinuswert zu berechnen.
Definition eines gleichschenkligen Dreiecks
Sie können ein gleichschenkliges Dreieck an zwei gleichen Seiten definieren, die als Basen, und in einem gleichen Winkel zwischen diesen Seiten angeordnet ist, der als scheitelpunkt.
In einem gleichschenkligen Dreieck kann jede der beiden gleichen Seiten als Basis betrachtet werden, und der entsprechende Winkel ist der eckige Winkel. Ein gleichschenkliges Dreieck wird durch das Symbol « = = » an dessen Basis gekennzeichnet.
Möglichkeiten, den Sinus eines Winkels zu finden
Der Sinus eines Winkels in einem gleichschenkligen Dreieck kann auf verschiedene Arten gefunden werden:
- Verwendet das Verhältnis in einem gleichschenkligen Dreieck zwischen der Seite und der Basis: sin(Winkel) = (seitliche Seite) / (die Hälfte der Basis) .
- Verwendet die geometrischen Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks mit einer Höhe, die von der Spitze bis zur Basis gezogen wurde. Durch die Eigenschaft sin(Winkel) = (Höhe) / (seitliche Seite) .
Beide Methoden ermöglichen es, den Sinus eines Winkels zu berechnen, ohne die Höhe des Dreiecks zu kennen. Die Wahl des geeigneten Verfahrens hängt von den bekannten Dreiecksdaten ab.
Den Sinus eines Winkels finden, ohne die Höhe zu verwenden
Lassen Sie uns ein gleichschenkliges Dreieck ABC haben, in dem der Winkel A dem gewünschten Winkel entspricht. Es ist bekannt, dass die Seite AB der Seite von AC gleich ist, bezeichnen wir sie als a. Auch die Seite BC ist bekannt, die wir als b bezeichnen.
Nach dem Kosinus-Satz entspricht die Summe der Quadrate zweier Seiten eines Dreiecks dem doppelten Produkt dieser Seiten um den Kosinus des Winkels zwischen ihnen. Wenn wir diesen Satz in unserem Dreieck anwenden, erhalten wir:
- a 2 + b 2 = 2ab*cosA
Um den Sinus des Winkels A zu finden, müssen wir ihn durch bekannte Größen ausdrücken. Verwenden Sie dazu die bekannte trigonometrische Identität, die den Sinus und den Kosinus des Winkels verbindet:
- sin 2 A + cos 2 A = 1
Ersetzen wir den cosA-Wert aus der ersten Gleichung in diese Identität und drücken sinA aus:
- sin 2 A + (1/2 - a 2 /2b 2 ) 2 = 1
- sin 2 A + 1/4 - a 2 /b 2 + a 4 /4b 4 = 1
- sin 2 A = 3/4 - a 2 /b 2 - a 4 /4b 4
- sinA = sqrt(3/4 - a 2 /b 2 - a 4 /4b 4 )
Auf diese Weise können wir den Sinus eines Winkels in einem gleichschenkligen Dreieck finden, ohne die Höhe zu verwenden und die Werte der Seiten des Dreiecks zu kennen.
Beispiele für Winkelsinusberechnungen
Betrachten wir einige Beispiele für die Berechnung des Sinuswinkels in einem gleichschenkligen Dreieck ohne Höhe:
Beispiel 1:
Das gleichschenklige Dreieck ABC wird angegeben, wobei der Winkel A 45 Grad beträgt. Wir werden den Sinus dieses Winkels finden.
Da das Dreieck gleichschenklig ist, sind die Winkel A und B gleich. Daher ist der Winkel von B auch 45 Grad.
Es ist bekannt, dass die Summe der Winkel in einem Dreieck 180 Grad beträgt. Der Winkel von C ist also gleich 180 - 45 - 45 = 90 grad.
Jetzt können wir die Sinusregel anwenden: sin(A) = sin(C) / AB.
Wir haben nur eine Seite des Dreiecks - AB, also müssen wir die Länge der Seite BC finden.
Da das Dreieck gleichschenklig ist, ist die Seite von BC gleich der Seite von AC. Also müssen wir die Länge der AC-Seite finden.
Nehmen wir eine beliebige Seitenlänge AB = 1. Dann, nach dem Satz des Pythagoras, AC = √(AB^2 + BC^2) = √(1^2 + BC^2) = √(1 + BC^2).
Da das Dreieck gleichschenklig ist, ist BC gleich AC. Daher können wir die Gleichung schreiben: BC = √(1 + BC^2).
Lösen wir diese Gleichung: BC^2 = 1 + BC^2, 0 = 1. Widerspruch.
Beispiel 2:
Das gleichschenklige Dreieck ABC wird angegeben, wobei der Winkel A 30 Grad beträgt. Wir werden den Sinus dieses Winkels finden.
Ähnlich wie beim ersten Beispiel würde der Winkel von B auch 30 Grad betragen.
Der Winkel C ist gleich 180 - 30 - 30 = 120 grad.
Unter Anwendung der Sinusregel sin(30) = sin(120) / AB.
Um die Länge der Seite BC zu finden, müssen wir die Länge der Seite AC finden.
Sei AB = 1. Dann ist AC = √(1^2 + BC^2).
Daher BC^2 = AC^2 - 1 = (√(1 + BC^2))^2 - 1 = 1 + BC^2 - 1 = BC^2.
Daraus folgt, dass BC = AC = 1 ist.
Jetzt können wir sin(30) = sin berechnen(120) / 1 = √3 / 2.
Somit ist der Sinus eines 30-Grad-Winkels in einem gleichschenkligen Dreieck, in dem die Winkel bei einer einzigen Höhe gleich 30 Grad sind, √3 / 2.
