Vierecke – eine der grundlegenden geometrischen Formen, die überall in unserem täglichen Leben vorkommen. Sie können im Haus, auf der Straße, im Bau und sogar in der Natur gefunden werden. Die Haupteigenschaften von Vierecken sind die Winkel und Seiten, die ihre Form und Größe bestimmen. Um ein Viereck vollständig zu beschreiben, müssen Sie es jedoch auch kennen Diagonale.
In diesem Artikel werden wir uns ansehen, wie wir Sie finden Perimeter vierecke an bestimmten Diagonalen. Dazu gibt es mehrere Formeln, die bei der Lösung solcher Probleme nützlich sein werden. Bevor Sie beginnen, müssen Sie sicherstellen, dass die Diagonalen des angegebenen Vierecks sich überschneiden und ihre Werte bekannt sind.
Die Formel, den Umfang eines Vierecks diagonal zu finden:
umfang = 2 * (√((diagonal1^2 + diagonal2^2))
wo diagonal1 und diagonal2 - werte für voreingestellte Diagonalen.
Schauen wir uns ein Beispiel an. Lassen Sie uns ein Viereck mit den angegebenen Diagonalwerten haben – diagonal1 = 5 und diagonal2 = 7. Wenn wir die Formel anwenden, finden wir den Umfang dieses Vierecks:
umfang = 2 * (√((5^2 + 7^2)) = 2 * (√(25 + 49)) = 2 * (√74) = 2 * 8.60 ≈ 17.20
Daher ist der Umfang eines Vierecks mit den angegebenen Diagonalwerten 5 und 7 ist ungefähr gleich 17.20 Längeneinheit.
Jetzt haben Sie das Wissen, wie Sie den Umfang eines Vierecks entlang gegebener Diagonalen finden können. Sie können diese Formel verwenden, um solche Probleme zu lösen und sie in die Praxis umzusetzen.
Vierecke und ihre Eigenschaften
- Summe der inneren Ecken: In einem Viereck ist die Summe der inneren Winkel immer 360 Grad. Diese Eigenschaft gilt für alle Arten von Vierecken.
- Summe der Diagonalen: In einem beliebigen Viereck entspricht die Summe der Diagonalen der Summe seiner Seiten.
- Summe der entgegengesetzten Winkel: In einem Parallelogramm und einem Trapez ist die Summe der Winkel, die sich gegenüber liegen, immer gleich 180 Grad.
- Parallele Seiten: In einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten immer parallel. Im Trapez ist auch ein Paar gegenüberliegende Seiten parallel.
- Zusätzliche Winkel: In einem Rechteck und einer Raute sind die zusätzlichen Winkel immer 90 Grad.
Vierecke können je nach Form und Eigenschaften unterschiedlich sein. Jeder Typ hat seine eigenen Eigenschaften und spezifischen Eigenschaften, die bei der Berechnung des Umfangs oder anderer Parameter berücksichtigt werden müssen.
Umfang des Vierecks
Wenn Sie die Diagonallängen d1 und d2 kennen, können Sie die folgende Formel verwenden:
Umfang = 2√(d12 + d22)
Wenn die Diagonallängen d1, d2 und der Winkel zwischen ihnen α bekannt sind, können Sie die folgende Formel verwenden:
Umfang = 2√(d12 + d22 - 2d1d2cos(α))
Lassen Sie uns ein Viereck mit Diagonalen der Länge 5 und 8 haben. Dann:
Umfang = 2√(52 + 82) = 2√(25 + 64) = 2√89 ≈ 18.87
Der Umfang dieses Vierecks beträgt also ungefähr 18.87.
Perimetersuche durch Diagonalen
Eine Diagonale ist ein Abschnitt, der zwei nicht benachbarte Eckpunkte eines Vierecks verbindet. Im Falle eines ABCD-Vierecks können seine Diagonalen als AC und BD bezeichnet werden.
Um den Umfang eines Vierecks diagonal zu finden, können Sie die folgende Formel verwenden:
| Umfang des Vierecks | = Summe der Längen seiner Seiten | = AB + BC + CD + DA |
Wenn die Diagonalen des Vierecks bekannt sind, können Sie mit Hilfe von ihnen die Längen seiner Seiten finden und sie dann falten, um einen Umfang zu erhalten.
Betrachten Sie zum Beispiel das Viereck ABCD, in dem die Längen seiner Diagonalen AC = 6 und BD = 8 bekannt sind:
| BC | = Diagonale Länge | - AC-Länge | = 8 - 6 | = 2 | ||
| AB | = Diagonale Länge | - √(BC² + AC²) | = 8 - √(2² + 6²) | = 8 - √(4 + 36) | = 8 - √40 | = 8 - 2√10 |
| CD | = Abstand zwischen den verbleibenden Stützpunkten | = Länge BD | = 8 | |||
| DA | = Abstand zwischen den verbleibenden Stützpunkten | = AC-Länge | = 6 |
Jetzt, da die Längen aller Seiten des Vierecks bekannt sind, können Sie sie falten, um den Umfang des Vierecks zu finden:
| Umfang des Vierecks | = AB + BC + CD + DA | = 8 - 2√10 + 2 + 8 + 6 | = 24 - 2√10 |
Somit ist der Umfang des ABCD-Vierecks 24 - 2 √10.
Die Formel zum Finden des Umfangs
Der Umfang eines Vierecks kann durch eine Formel gefunden werden, die die Längen seiner Diagonalen verwendet. Um dies zu tun, müssen Sie die Längen aller vier Diagonalen kennen, bezeichnen Sie sie als d1, d2, d3, d4.
Formel zum Finden des Umfangs eines Vierecks:
| Umfang = d1 + d2 + d3 + d4 |
Wenn Sie diese Formel anwenden, können Sie den Umfang eines Vierecks leicht finden, indem Sie die Längen seiner Diagonalen kennen.
Angenommen, Sie geben ein Viereck mit den folgenden Diagonallängen an: d1 = 5, d2 = 7, d3 = 6, d4 = 4. Wenn wir die Perimeterformel anwenden, erhalten wir:
| Umfang = 5 + 7 + 6 + 4 = 22 |
Somit ist der Umfang dieses Vierecks 22.
Lösungsbeispiele
Wir finden den Umfang des durch Diagonalen gegebenen Vierecks an einigen Beispielen:
Beispiel 1:
Das Viereck ABCD ist gegeben, in dem bekannt ist, dass sich die Diagonalen AC und BD am Punkt O kreuzen. Die Diagonallängenwerte sind AC = 6 cm und BD = 8 cm.
Um den Umfang eines Vierecks zu finden, benötigen wir Kenntnisse über die Längen der Seiten und Winkel dieser Figur. Wir verwenden das Kosinus-Theorem für das Dreieck AOB, wobei AB die Seite des Vierecks ist, OB und OA die Hälfte der Diagonalen sind.
Nach dem Kosinus-Satz:
Wir ersetzen die bekannten Werte und finden die Seite AB:
Nachdem wir die Gleichung gelöst haben, erhalten wir:
AB^2 = 9 + 16 - 24 * cos(O)
AB^2 = 25 - 24 * cos(O)
AB^2 ≈ 1
AB ≈ 1 cm
Die AB-Seite ist also ungefähr gleich 1 cm. Der Umfang des Vierecks entspricht der Summe der Längen aller Seiten:
P = AB + AC + BD + CD
P ≈ 1 + 6 + 8 + CD
Der Umfang des Vierecks hängt von der Länge der letzten Seite der CD ab, die in diesem Beispiel nicht bekannt ist.
Beispiel 2:
Betrachten Sie das Viereck EFGH, in dem die Diagonalen EF und GH jeweils 7 cm und 10 cm betragen.
Auch hier verwenden wir das Kosinus-Theorem für das Dreieck EGH:
Indem wir die Werte ersetzen, erhalten wir:
EG^2 = 7^2 + 10^2 - 2 * 7 * 10 * cos(G)
EG^2 = 149 - 140 * cos(G)
Finde den Winkel G mit dem Sinus-Theorem im Dreieck EGH:
Indem wir die bekannten Werte ersetzen, finden wir den Winkel G:
Die Winkel des EGH-Dreiecks werden in 180 Grad addiert, so dass wir den Winkel E finden können:
Jetzt mit dem Kosinus-Theorem für das EFG-Dreieck:
Wir ersetzen die Werte und finden die Seite von FG:
Wenn wir die Gleichung gelöst haben, finden wir die Seite von FG:
Somit ist die Seite von FG ungefähr gleich der Wurzel von 20 cm. Der Umfang des Vierecks wird gleich sein:
P = EF + FG + GH + EH
P ≈ 7 + √20 + 10 + EH
Der Umfang eines Vierecks hängt von der Länge der letzten Seite des EH ab, die in diesem Beispiel unbekannt ist.
Beispiel 3:
Nehmen wir an, wir haben ein Viereck IJKL, in dem die Diagonalen IK = 5 cm und JL = 9 cm bekannt sind.
Wir verwenden das Kosinus-Theorem für das IJK-Dreieck:
Ersetzen Sie die Werte und finden Sie die JK-Seite:
Nachdem wir die Gleichung gelöst haben, erhalten wir:
JK^2 ≈ IJ^2 - 10 * IJ * cos(K) + 25
JK^2 ≈ 25 - 10 * IJ * cos(K)
Finde den Winkel K mit dem Sinus-Theorem im Dreieck KIJ:
Wir ersetzen die bekannten Werte und finden den Winkel K:
Die Winkel des KIJ-Dreiecks werden in 180 Grad addiert, so dass wir den Winkel von I finden können:
Wir verwenden jetzt das Kosinus-Theorem für das Dreieck JKL:
Wir ersetzen die Werte und finden die IJ-Seite:
Wenn wir die Gleichung gelöst haben, finden wir die Seite von IJ:
IJ^2 ≈ 81 + JK^2 - 18 * JK * cos(L)
IJ^2 ≈ JK^2 - 18 * JK * cos(L) + 81
IJ ≈ √(JK^2 - 18 * JK * cos(L) + 81)
Die IJ-Seite ist also ungefähr gleich der Wurzel von (JK^2 - 18 * JK * cos(L) + 81) cm. Der Umfang des Vierecks wird gleich sein:
P = JK + KL + JL + IJ
P ≈ JK + KL + 9 + √(JK^2 - 18 * JK * cos(L) + 81)
Der Umfang des Vierecks hängt von der Länge der letzten Seite von KL ab, die in diesem Beispiel unbekannt ist.
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