Die Basis ist eines der wichtigsten Konzepte in der linearen Algebra. Es ist eine Sammlung von linear unabhängigen Vektoren, die einen Raum bilden. Aber wie kann man feststellen, ob drei Vektoren eine Basis bilden?
Es gibt mehrere Möglichkeiten zur Überprüfung. Eine besteht darin zu überprüfen, ob die Determinante einer Matrix, die aus diesen Vektoren besteht, ungleich Null ist. Wenn der Determinator Null ist, sind Vektoren linear abhängig und können keine Basis bilden. Wenn die Determinante jedoch nicht Null ist, sind die Vektoren linear unabhängig und können die Basis des Raums bilden.
Eine andere Methode zum Testen besteht darin, zu überprüfen, ob die Dimension des von Vektoren gebildeten Raums der Anzahl von Vektoren entspricht. Wenn die Anzahl der Vektoren gleich der Dimension des Raums ist, sind sie linear unabhängig und bilden eine Basis. Wenn die Anzahl der Vektoren kleiner ist als die Dimension des Raums, sind sie linear abhängig und können keine Basis bilden.
Sie können auch die Gauß-Methode oder ihre Modifikationen verwenden. Das Wesen der Methode besteht darin, die Matrix in eine gestufte Ansicht zu bringen und zu überprüfen, wie viele Zeilen ungleich Null übrig sind. Wenn die Anzahl der Zeilen ungleich Null gleich der Anzahl der Vektoren ist, sind die Vektoren linear unabhängig und bilden eine Basis. Wenn die Anzahl der Zeilen ungleich Null kleiner ist als die Anzahl der Vektoren, sind Vektoren linear abhängig und können keine Basis bilden.
Drei Vektoren und eine Basis
Um die Basis zu bestimmen, müssen zwei Bedingungen überprüft werden. Erstens müssen Vektoren linear unabhängig sein. Dies bedeutet, dass keiner der Vektoren als lineare Kombination der anderen beiden Vektoren dargestellt werden kann. Zweitens müssen Vektoren den gesamten Raum erzeugen. Dies bedeutet, dass jeder Vektor des Raums als eine lineare Kombination von gegebenen drei Vektoren dargestellt werden kann.
Eine Möglichkeit, diese Bedingungen zu überprüfen, besteht darin, die Gauß–Methode anzuwenden, um eine Lösung für das lineare Gleichungssystem zu finden. Wenn das System nur eine triviale Lösung hat (alle Koeffizienten sind Null), dann sind die Vektoren linear unabhängig und bilden die Basis. Andernfalls bilden Vektoren keine Basis.
Eine andere Möglichkeit besteht darin, den Determinator einer Matrix zu verwenden, die aus Vektoren besteht. Wenn der Determinator Null ist, sind die Vektoren linear abhängig und bilden keine Basis. Wenn der Determinator nicht Null ist, sind die Vektoren linear unabhängig und bilden eine Basis.
Das Ergebnis der Überprüfung kann als Tabelle dargestellt werden. In der ersten Spalte werden die Quellvektoren angegeben, und in der zweiten Spalte wird das Ergebnis für jeden Vektor angezeigt: Basis oder nicht. Auf diese Weise können Sie sich deutlich vorstellen, ob die drei Vektoren eine Basis bilden oder nicht.
| Vektoren | Basis? |
|---|---|
| Vektor 1 | Grundlinie |
| Vektor 2 | Grundlinie |
| Vektor 3 | Grundlinie |
Grundbegriff
Um zu verstehen, wie man überprüft, ob drei Vektoren eine Basis bilden, müssen Sie die folgenden grundlegenden Konzepte kennen:
- Vektor - es ist ein mathematisches Objekt, das sowohl Richtung als auch Länge hat. Ein Vektor kann als geordnetes Zahlenpaar oder als Pfeil auf einer Ebene dargestellt werden.
- Grundlinie ist ein Satz von Vektoren, der eine linear unabhängige Menge bildet und jeden anderen Vektor eines gegebenen Raums erzeugen kann. Die Basis ist die Grundlage für die Konstruktion aller Vektoren in einem gegebenen Raum.
- Lineare Unabhängigkeit ist eine Eigenschaft von Vektoren, die angibt, dass kein Vektor in diesem Satz als lineare Kombination anderer Vektoren dargestellt werden kann.
Um zu überprüfen, ob drei Vektoren eine Basis bilden, müssen Sie sicherstellen, dass sie linear unabhängig sind und jeden anderen Vektor in einem bestimmten Raum erzeugen können.
Überprüfung auf lineare Unabhängigkeit
Um zu überprüfen, ob die drei angegebenen Vektoren eine Basis bilden, sollten Sie ihre lineare Unabhängigkeit überprüfen. Wir werden den Vektor als v bezeichnen1, v2 und v3.
Wenn Vektoren linear abhängig sind, gibt es solche Koeffizienten a1, a2 und a3, die nicht alle gleich Null sind und so sind, dass die Gleichung
hat eine Lösung ungleich Null. In diesem Fall bilden Vektoren keine Basis.
Wenn die Vektoren linear unabhängig sind, dann aus der Gleichung
es folgt, dass die Koeffizienten a sind1, a2 und a3 sind gleich null. In diesem Fall bilden die Vektoren die Basis.
Um also auf lineare Unabhängigkeit zu testen, ist es erforderlich, ein System linearer Gleichungen zu lösen, bei denen Vektoren v sind1, v2 und v3 die Rolle der Unbekannten spielt eine Rolle, und die Koeffizienten a1, a2 und a3 – bekannter.
Um das System linearer Gleichungen einfacher zu lösen, können Sie Vektoren auch als Tabelle darstellen:
| v1 | v2 | v3 |
| a1 | a2 | a3 |
Daher ist die Überprüfung auf die lineare Unabhängigkeit von Vektoren ein wichtiger Schritt bei der Bestimmung der Basis ihres linearen Raums.
Gleichungssystem
Um zu überprüfen, ob drei Vektoren eine Basis bilden, müssen Sie ein Gleichungssystem lösen, das aus den Koordinaten dieser Vektoren besteht.
Lassen Sie uns drei Vektoren haben:
Sie bilden die Basis, wenn eine Lösung des Gleichungssystems ungleich Null existiert:
Sie können auch ein Gleichungssystem in Matrixform schreiben:
Dann wird das Gleichungssystem als geschrieben:
Koeffizientenmatrix * Vektor-Variablenspalte = Vektor-Nullspalte
Wenn die Koeffizientenmatrix ungeboren ist, besteht die Lösung des Gleichungssystems nur bei Nullwerten von Variablen. In diesem Fall bilden die Vektoren A, B und C die Basis.
Wenn die Koeffizientenmatrix degeneriert ist, kann die Lösung des Gleichungssystems bei Variablenwerten ungleich Null existieren. In diesem Fall bilden die Vektoren A, B und C keine Basis.
Lösen eines Gleichungssystems
Um zu überprüfen, ob drei Vektoren eine Basis bilden, muss ein Gleichungssystem gelöst werden, bei dem jeder dieser Vektoren als lineare Kombination anderer Vektoren dargestellt wird.
Lassen Sie drei Vektoren a, b und c gegeben werden:
Damit diese Vektoren eine Basis bilden, müssen Sie die x-, y- und z-Koeffizienten finden, bei denen die lineare Kombination dieser Vektoren dem Nullvektor entspricht:
x * a + y * b + z * c = 0
Dies ist die Aufgabe, ein Gleichungssystem zu lösen:
Wenn das System nur eine triviale Lösung hat (x = y = z = 0), bilden die Vektoren a, b und c die Basis.
Wenn das System eine nicht triviale Lösung hat, bilden die Vektoren a, b und c keine Basis. In diesem Fall sind Vektoren linear abhängig und können durch eine lineare Kombination anderer Vektoren ausgedrückt werden.
Abschließende Überprüfung
Führen Sie die folgenden Schritte aus, um eine abschließende Überprüfung durchzuführen:
- Überprüfen Sie die lineare Unabhängigkeit von Vektoren.
- Überprüfen Sie, ob Vektoren den Raum bilden, in dem sie sich befinden.
Um die lineare Unabhängigkeit von Vektoren zu überprüfen, schreiben Sie ein lineares Gleichungssystem auf, das alle Vektoren enthält. Dann löse dieses System und überprüfe, ob es nur eine triviale Lösung gibt, dh alle Koeffizienten sind Null.
Als nächstes müssen Sie überprüfen, ob Vektoren den Raum bilden, in dem sie sich befinden, um zu überprüfen, ob ein Vektor in diesem Raum als lineare Kombination von Vektordaten ausgedrückt werden kann. Erstellen Sie dazu ein System linearer Gleichungen, in dem der gesuchte Vektor in Form einer linearen Kombination von Vektoren dargestellt wird und die Koeffizienten bei Vektoren einigen unbekannten Größen entsprechen. Lösen Sie dann dieses System und überprüfen Sie, ob alle Koeffizienten Werte ungleich Null haben.
