Quadratische Gleichungen mit negativem Diskriminanten sind Gleichungen, die keine gültigen Wurzeln haben. Sie treten auf, wenn eine negative Zahl unter der Wurzel in der Diskriminanzformel liegt. Es ist unmöglich, solche Gleichungen nicht zu lösen, aber Sie können ihre imaginären Wurzeln finden.
Quadratische Gleichung mit negativem Diskriminanten: Lösung
Wenn jedoch der Diskriminant (Ausdruck D = b2 - 4ac) einer quadratischen Gleichung negativ ist, deutet dies darauf hin, dass die Gleichung keine gültigen Wurzeln hat. Stattdessen sind die Wurzeln komplexe Zahlen.
Die Lösung einer quadratischen Gleichung mit negativem Diskriminanten kann mit der Wurzelformel erhalten werden:
Wobei a, b und c die Koeffizienten der quadratischen Gleichung sind.
Die Ergebnisse sind komplexe Zahlen, wobei der reelle Teil -b/ 2a ist und der imaginäre Teil √(-D)/2a ist.
Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung x2 - 4x + 5 = 0, wobei a = 1, b = -4 und c = 5 ist.
Diskriminante D = (-4)2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4.
Da die Diskriminanz negativ ist, sind die Wurzeln der Gleichung komplex:
| Wurzel | Realteil | Imaginärteil |
|---|---|---|
| x₁ | -(-4)/(2*1) = 2 | √(-(-4))/(2*1) = √4/2 = 1 |
| x₂ | -(-4)/(2*1) = 2 | -√(-(-4))/(2*1) = -√4/2 = -1 |
Die Lösung dieser Gleichung ist also die komplexen Zahlen x₁ = 2 + i und x₂ = 2 - i, wobei i eine imaginäre Einheit ist.
Auf diese Weise wird eine quadratische Gleichung mit einem negativen Diskriminanten gelöst.
Diskriminante und ihre Bedeutungen
wobei a, b und c die Koeffizienten der quadratischen Gleichung ax^2 + bx + c = 0 sind.
Der Diskriminanzwert kann positiv, negativ oder Null sein.
1. Wenn der Diskriminant D > 0 ist, hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln. Dies bedeutet, dass das Diagramm der quadratischen Gleichung die x-Achse an zwei Punkten schneidet.
2. Wenn der Diskriminant D = 0 ist, hat die Gleichung eine reelle Wurzel. Das Diagramm der quadratischen Gleichung berührt die x-Achse nur an einem Punkt.
Wenn Sie die Werte des Diskriminanten kennen, können Sie quadratische Gleichungen effektiv und richtig lösen und ihre grafische Interpretation verstehen.
| D-Wert | Anzahl der Wurzeln | Grafik-Ansicht |
|---|---|---|
| D > 0 | 2 verschiedene reelle Wurzeln | Das Diagramm schneidet die x-Achse an zwei Punkten |
| D = 0 | 1 reelle Wurzel | Der Graph berührt die x-Achse an einem Punkt |
| D < 0 | Keine wirklichen Wurzeln | Das Diagramm schneidet die x-Achse nicht |
Verwenden komplexer Zahlen
Wenn die Gleichung einen negativen Diskriminanten aufweist, sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung komplexe Zahlen. Um Wurzeln mit einem negativen Diskriminanten zu finden, müssen komplexe Zahlen verwendet werden.
Eine komplexe Zahl wird als dargestellt a + bi, wo a und b - reelle Zahlen und i - eine imaginäre Einheit, die durch das Verhältnis bestimmt wird i 2 = -1.
Um die Wurzeln einer quadratischen Gleichung mit einem negativen Diskriminanten zu finden, müssen Sie die Formel verwenden:
wo D - diskriminanz gleich D = b 2 - 4ac.
Wenn der Diskriminant negativ ist, wird die Berechnung auf Standardmethode fehlschlagen. Um Fehler zu vermeiden, können Sie daher eine Formel mit komplexen Zahlen verwenden:
| Wurzel x | komplexe Zahl |
|---|---|
| x1 | (-b + √(|D|)i) / (2a) |
| x2 | (-b - √(|D|)i) / (2a) |
Wo |D| - Diskriminantenmodul gleich |D| = √(-D).
Die Verwendung komplexer Zahlen ermöglicht es Ihnen, eine quadratische Gleichung mit einem negativen Diskriminanten zu lösen und komplexe Wurzeln zu erhalten.
