rechtwinkliges Dreieck - dies sind Dreiecke, die einen Winkel von 90 Grad haben. Sie sind die Grundlage für das Studium der Trigonometrie und werden in vielen Bereichen der Wissenschaft, Astronomie und Technik verwendet.
Wenn zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks und einer seiner Winkel bekannt sind, können Sie trigonometrische Funktionen verwenden, um eine unbekannte Seite zu finden. Eine solche Funktion ist der Sinus.
Der Sinus des Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich dem Verhältnis der Länge des gegenüberliegenden Kathets zur Hypotenuse.
Verwenden Sie die Formel, um die Seite durch den Sinus und die Seite in einem rechtwinkligen Dreieck zu finden:
Seite = Sinus des Winkels * Hypotenuse
Wenn Sie die Sinuswerte des Winkels und die Länge einer Seite kennen, können Sie leicht die Länge der zweiten Seite eines rechtwinkligen Dreiecks finden. Diese Methode kann von Studenten mathematischer Fachrichtungen sowie von Personen verwendet werden, die in den Bereichen Ingenieurwesen und Konstruktion arbeiten.
Was ist ein rechteckiges Dreieck?
Es gibt immer eine besondere Seite in einem rechtwinkligen Dreieck, die Hypotenuse genannt wird. Die Hypotenuse ist die längste Seite des Dreiecks und befindet sich gegen den rechten Winkel.
Auch in einem rechtwinkligen Dreieck können zwei andere Seiten unterschieden werden, die als Kathete bezeichnet werden. Die Kathete liegen an einem rechten Winkel an und sind mit den Spitzen des Dreiecks verbunden.
Die besonderen Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks ergeben sich aus einer Reihe von Formeln und Verhältnissen, die es ermöglichen, Probleme zu lösen, die mit diesem Dreieckstyp verbunden sind. Eine dieser Formeln ist der Satz des Pythagoras, der besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse der Summe der Quadrate der Katheten entspricht.
Wenn Sie die Werte der Seiten oder Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks kennen, können Sie die Werte der anderen Seiten oder Winkel mithilfe verschiedener mathematischer Operationen berechnen. Beispielsweise können Sie einen Sinus verwenden, um einen Winkel oder eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks zu definieren.
Grundbegriff
Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis der Länge des entgegengesetzten Katheters zur Länge der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck. Es wird durch das Symbol sin gekennzeichnet und durch die Formel sin(A) = Kathette / Hypotenuse ausgedrückt.
Um eine Seite durch den Sinus eines Winkels und eine bekannte Seite in einem rechtwinkligen Dreieck zu finden, können Sie den Sinus-Theorem verwenden. Nach diesem Satz sind die Verhältnisse der Seitenlängen zu den ihnen entgegengesetzten Winkeln für alle drei Seiten des Dreiecks gleich. Die Formel zum Finden der Seite lautet wie folgt:
seite = (bekannte Seite * sin(bekannter Winkel))/sin(unbekannter Winkel).
Wenn Sie diese Formel verwenden, müssen Sie zwei Winkel und eine der Seiten des Dreiecks kennen.
Jetzt, da wir die grundlegenden Konzepte kennen, können wir mit der Lösung der Probleme beginnen, die mit dem Finden der Seite durch den Sinus und der Seite in einem rechtwinkligen Dreieck verbunden sind.
Eine Seite durch den Sinus finden
Sie können die Formel verwenden, um die Seite durch den Sinus in einem rechtwinkligen Dreieck zu finden:
Seite = Gegenüberliegende Seite / sin(Winkel)
Wobei die "gegenüberliegende Seite" die Seite ist, die der Ecke entgegentritt, und die "Ecke" ist der Winkel, dessen Sinus bekannt ist.
Um den Sin-Wert (Winkel) zu berechnen, müssen Sie die Sinuswerttabelle verwenden oder einen Rechner mit trigonometrischen Funktionen verwenden.
Nachdem Sie den Wert einer Seite berechnet haben, können Sie ihn in eine Formel einfügen, um die Seite des Dreiecks zu definieren.
Lassen Sie das rechteckige Dreieck den Wert der gegenüberliegenden Seite von 5 und den Sinuswert des Winkels von 0.8 kennen.
Dann wird die Seite gleich sein:
Seite = 5 / 0.8 = 6.25
Die Seite des Dreiecks ist also 6.25.
Formel
Wenn die Aufgabe darin besteht, die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks durch den Sinus des Winkels und die andere Seite zu finden, können Sie die folgende Formel verwenden:
Seite = Winkelsinus * andere Seite
Lassen Sie uns zum Beispiel ein rechteckiges Dreieck mit den Seiten a, b und der Hypotenuse c haben. Wenn wir den Winkel α kennen, der gegenüber der Seite a steht, und die Länge der Seite b, können wir die Seite a mit der Formel finden:
a = sin(α) * b
Mit diesem Ausdruck können Sie die Länge von Seite a ermitteln, indem Sie den Sinuswert des Winkels α und die Länge von Seite b kennen.
Lösungsbeispiele
Betrachten Sie einige Beispiele, um besser zu verstehen, wie Sie eine Seite durch den Sinus und eine Seite in einem rechtwinkligen Dreieck finden.
| Rohdaten | Die Entscheidung |
|---|---|
| Seite AC = 5 | BD-Seite = ? |
| Winkel C = 60° | Winkel D = 90° |
Um dieses Beispiel zu lösen, können wir die Sinusformel verwenden:
Sinus des Winkels C = gegenüberliegende Seite (BD) / Hypotenuse (AC)
Die BD-Seite ist also ungefähr 4.33.
| Rohdaten | Die Entscheidung |
|---|---|
| Seite AC = 10 | Seite AE = ? |
| Winkel C = 45° | Winkel A = 90° |
Um dieses Beispiel zu lösen, können wir die Sinusformel verwenden:
Sinus des Winkels C = gegenüberliegende Seite (AE) / Hypotenuse (AC)
Die AE-Seite ist also ungefähr gleich 7.07.
Eine Seite in einem rechtwinkligen Dreieck finden
Wenn die Längen der beiden Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks bekannt sind, kann die dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras gefunden werden. Nach diesem Satz ist das Quadrat der Länge der Hypotenuse (die Seite des rechtwinkligen Dreiecks gegenüber dem rechten Winkel) gleich der Summe der Quadrate der Längen der Katheten (die anderen beiden Seiten des Dreiecks). Formel zur Berechnung der Hypotenuse:
wobei c die Hypotenuse ist, a und b die Katheten sind.
Wenn die Länge der Hypotenuse und eine der Katheten bekannt ist, können Sie die Länge der zweiten Kathete mit dem Satz des Pythagoras finden. Formel zur Berechnung des Kathets:
wobei a der Kathet ist, c die Hypotenuse ist, b der zweite Kathet.
Wenn die Längen eines Katheters und einer Hypotenuse bekannt sind, können Sie die Länge des zweiten Katheters anhand eines Anteils finden. Formel zur Berechnung des Kathets:
wobei b der zweite Kathet ist, a der Kathet, c die Hypotenuse ist.
Mit diesen Formeln können Sie fehlende Seiten in rechteckigen Dreiecken finden und Aufgaben lösen, die mit ihrer Messung und Berechnung verbunden sind.
Formel
Sie können die folgende Formel verwenden, um die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks durch den Sinus und die Seite zu finden:
Seite = Sinus(Winkel) * Andere Seite
Um diese Formel anzuwenden, müssen Sie den Sinuswert des Winkels und die Länge der anderen bekannten Seite des Dreiecks kennen. Sie können den Sinuswert eines Winkels mit einer Sinustabelle oder einem Taschenrechner ermitteln, und Sie können die Länge der benachbarten Seite mit einem Lineal oder einem anderen Messwerkzeug messen. Nachdem Sie die entsprechenden Werte in die Formel eingefügt haben, können Sie die Länge der gesuchten Seite berechnen.
Wenn Sie beispielsweise den Sinus von Winkel A von 0.6 und die Länge von Seite B von 5 kennen, erhalten Sie mit der Formel Seite = Sinus (Winkel) * Die andere Seite:
Gesuchte Seite = 0.6 * 5 = 3
Die gesuchte Seite des Dreiecks ist also 3.
Lösungsbeispiele
Beispiel 1:
Es wird ein rechteckiges Dreieck gegeben, in dem die Hypotenuse c = 10 cm und der Winkel A = 30 ° bekannt sind.
Um die Seite von b zu finden, verwenden wir die Formel sin (A) = b / c.
Wir ersetzen die Werte sin (30 °) = b / 10:
b = 10 * sin(30°) = 10 * 0.5 = 5 siehe
Die Seite b ist also 5 cm groß.
Beispiel 2:
Ein rechteckiges Dreieck ist gegeben, in dem die Hypotenuse c = 13 cm und die Seite a = 5 cm bekannt sind.
Um den Winkel A zu finden, verwenden wir die Formel sin (A) = a / c.
Wir ersetzen die Werte sin (A) = 5/13 und finden mithilfe von trigonometrischen Tabellen den ungefähren Wert des Winkels A:
A = arcsin(5/13) ≈ 22.62°.
Somit beträgt der Winkel A ungefähr 22.62 °.
