Rechnen ist eine wichtige Fähigkeit, die für einen erfolgreichen Mathematikunterricht und die Lösung von Problemen im täglichen Leben unerlässlich ist. In der 7. Klasse der Schule lernen die Schüler eine rationale Berechnungsmethode kennen, mit der sie schnell und präzise Ergebnisse erzielen können. Die Kenntnis der grundlegenden Methoden und die Fähigkeit, sie anzuwenden, wird Schülern helfen, mathematische Aufgaben leicht zu bewältigen und in ihren Fähigkeiten zuversichtlich zu sein.
Eine rationale Berechnungsmethode basiert auf der Verwendung bekannter Fakten und Eigenschaften von Zahlen und Operationen. Es ist wichtig, dieses Wissen in Verbindung mit logischem Denken und einer Strategie zur Problemlösung anzuwenden. In der 7. Klasse lernen die Schüler verschiedene Berechnungsmethoden kennen, z. B. das Addieren und Subtrahieren benachbarter Zahlen, die Verwendung von Kommutativitäts- und Assoziativitätseigenschaften sowie das Anwenden von Operationsprioritäten.
Ein Beispiel für eine rationale Berechnungsmethode ist die Aufgabe, Klammern in einem Ausdruck zu platzieren. Hier kann der Schüler das Wissen über die Assoziativitäts- und Verteilungseigenschaften der Multiplikationsoperation sowie die Kommutativitätseigenschaften der Additionsoperation nutzen. Ein rationaler Ansatz zur Lösung solcher Probleme ermöglicht es Ihnen, mit minimalem Aufwand das richtige Ergebnis zu erzielen.
Definition und Eigenschaften
Die Grundidee der Berechnung auf rationale Weise besteht darin, die bekannten Eigenschaften rationaler Zahlen zu verwenden, um arithmetische Operationen durchzuführen. Beispielsweise können Sie mit der Kommutativitätseigenschaft zusammengesetzte oder Multiplikatoren austauschen, und mit der Assoziativitätseigenschaft können Sie die Reihenfolge der Operationen ändern.
Die Eigenschaften von rationalen Zahlen ermöglichen es auch, Ausdrücke zu vereinfachen, Brüche zu reduzieren und andere mathematische Operationen mit größerer Effizienz durchzuführen. Wenn beispielsweise der Zähler und der Nenner eines Bruchs einen gemeinsamen Multiplikator haben, kann der Bruch reduziert und vereinfacht werden.
Die Berechnung auf rationale Weise wird in der Mathematik häufig verwendet, um Probleme unterschiedlicher Komplexität zu lösen. Es ermöglicht Ihnen, genaue und angemessene Ergebnisse zu erzielen, was besonders wichtig ist, wenn Sie mit Bruchzahlen arbeiten.
| Eigenschaft | Die Beschreibung |
|---|---|
| Kommutativität der Addition | Die Summe ändert sich nicht, wenn sie die Aggregate vertauscht: a + b = b + a |
| Multiplikationskommutativität | Durch den Wechsel der Multiplikatoren ändert sich das Produkt nicht: a * b = b * a |
| Assoziativität der Addition | Die Reihenfolge der Addition hat keinen Einfluss auf das Ergebnis: (a + b) + c = a + (b + c) |
| Assoziativität der Multiplikation | Die Reihenfolge der Multiplikation hat keinen Einfluss auf das Ergebnis: (a * b) * c = a * (b * c) |
| Verteilungseigenschaft | Die Multiplikation einer Zahl mit einer Summe ist gleich der Summe, die mit einer Zahl multipliziert wird: a * (b + c) = a * b + a * c |
Berechnen von rationalen Zahlen mithilfe eines Dezimaldatensatzes
Der Algorithmus zur Berechnung rationaler Zahlen mithilfe eines Dezimaldatensatzes besteht aus den folgenden Schritten:
- Wir schreiben den Bruch als Zähler und Nenner aus.
- Wir machen eine Zahl als ganze Zahl (wenn möglich), indem wir den ganzen Teil in das Ergebnis übertragen.
- Allmählich führen wir die Division durch, beginnend mit dem Rest der Division des Zählers durch den Nenner.
- Jedes Mal schreiben wir die durch Division erhaltene Ziffer in einen Dezimaleintrag und fügen die nächste Ziffer dem Rest hinzu.
- Wenn der Rest Null wird oder sich zu wiederholen beginnt, endet die Dezimaldarstellung der Zahl.
| Ein Beispiel: | Berechnung der Zahl ¾ |
|---|---|
| Schritt 1 | 3 ÷ 4 = 0,75 |
| Schritt 2 | Tragen Sie 0 in das Ergebnis ein |
| Schritt 3 | 3 ÷ 4 = 0,75 |
| Schritt 4 | Schreiben Sie 7 in eine Dezimaldarstellung |
| Schritt 5 | Wir stellen fest, dass sich der Rest von 5 wiederholt: 0,75 |
Daher ist die Zahl ¾ im Dezimaleintrag 0,75.
Beachten Sie, dass bei der Berechnung rationaler Zahlen eine periodische Dezimalzahl möglich ist, in der sich eine oder mehrere Ziffern wiederholen. In diesem Fall kann der Rest der Division als Auslassungspunkte über den sich wiederholenden Zahlen geschrieben werden.
Addieren und Subtrahieren von rationalen Zahlen
Der Prozess der Addition rationaler Zahlen besteht aus mehreren Schritten:
- Die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, indem Sie ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches finden. Um dies zu tun, müssen Sie die Nenner in Primfaktoren zerlegen und sie im gewünschten Ausmaß multiplizieren.
- Übersetzt die Zähler entsprechend dem resultierenden gemeinsamen Nenner.
- Addieren Sie die Zähler und schreiben Sie das Ergebnis zusammen mit dem gemeinsamen Nenner auf.
- Wenn die resultierende Summe größer als eins ist, teilen Sie sie durch einen gemeinsamen Nenner auf und schreiben Sie den Rest als Bruch auf.
Der Prozess der Subtraktion rationaler Zahlen ähnelt der Addition, mit Ausnahme des letzten Schritts, in dem die Zähler anstelle der Addition subtrahiert werden müssen. Die Differenz muss auch als Bruch geschrieben werden, wenn sie größer als eins ist.
Das Addieren und Subtrahieren von rationalen Zahlen sind wichtige Fähigkeiten, die im wirklichen Leben verwendet werden können, z. B. bei der Berechnung von Finanzen oder beim Erlernen anderer mathematischer Konzepte.
Multiplikation und Division von rationalen Zahlen
Regeln für die Multiplikation rationaler Zahlen:
- Um zwei rationale Brüche zu multiplizieren, multiplizieren Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs und teilen Sie dann den Zähler des Ergebnisses durch das Produkt der Nenner.
- Um eine rationale Zahl mit einer ganzen Zahl zu multiplizieren, multiplizieren Sie den Zähler einer rationalen Zahl mit dieser ganzen Zahl und lassen Sie den Nenner unverändert.
- Um zwei ganze Zahlen zu multiplizieren, die als rationale Zahlen dargestellt werden, multiplizieren Sie den Zähler der ersten Zahl mit dem Zähler der zweiten Zahl und lassen Sie dann den Nenner des Ergebnisses unverändert.
Regeln für die Division rationaler Zahlen:
- Um einen rationalen Bruch durch einen anderen zu teilen, multiplizieren Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem umgekehrten Wert des zweiten Bruchs (der umgekehrte Bruchwert ist der Bruch, in dem der Zähler und der Nenner vertauscht wurden) und dann ist der Nenner des Ergebnisses gleich dem Produkt der Nenner der ursprünglichen Brüche.
- Um eine rationale Zahl durch eine Zielzahl zu teilen, multiplizieren Sie den Zähler einer rationalen Zahl mit dem umgekehrten Wert dieser ganzen Zahl (mit anderen Worten, lassen Sie den Zähler unverändert, und multiplizieren Sie den Nenner mit dem Wert, der aus einer ganzen Zahl stammt).
- Um zwei ganze Zahlen zu teilen, die als rationale Zahlen dargestellt werden, multiplizieren Sie den Zähler der ersten Zahl mit dem umgekehrten Wert des Zählers der zweiten Zahl und lassen Sie dann den Nenner des Ergebnisses unverändert.
Die korrekte Anwendung der Regeln für Multiplikation und Division ermöglicht es Ihnen, rationale Zahlen zu multiplizieren und zu teilen, ohne sie in eine Dezimalform zu übersetzen und Dezimalzahlen zu vergleichen.
Beispiel 1:
Multiplizieren Sie 2/3 mit 4/5.
2/3 * 4/5 = (2 * 4) / (3 * 5) = 8 / 15.
Beispiel 2:
Teilen Sie 2/3 durch 4/5.
2/3 ÷ 4/5 = (2/3) * (5/4) = (2 * 5) / (3 * 4) = 10/12 = 5/6.
Beispiel 3:
Multiplizieren Sie 2/3 mit 2.
2/3 * 2 = (2 * 2) / 3 = 4/3 = 1 1/3.
Mit diesen Regeln können Sie verschiedene Kombinationen von rationalen Zahlen multiplizieren und teilen und genaue Ergebnisse erzielen.
Beispiele für die Lösung von Problemen mit rationalen Zahlen
Um das Material besser zu verstehen und Berechnungsfähigkeiten mit rationalen Zahlen zu erwerben, betrachten wir einige Beispiele für die Lösung von Problemen.
Beispiel 1:
Sie müssen die folgende arithmetische Aktion ausführen: Berechnen Sie die Summe 3/4 und 2/5.
| Ausdruck | Die Entscheidung |
|---|---|
| 3/4 + 2/5 | Um Brüche mit unterschiedlichen Nenner zu addieren, müssen Sie einen gemeinsamen Nenner finden. In diesem Fall wäre der gemeinsame Nenner 20. |
| Übersetzen wir die Brüche in äquivalente Brüche mit einem gemeinsamen Nenner: | |
| 3/4 * 5/5 + 2/5 * 4/4 | Wir multiplizieren den Zähler des ersten Bruchs mit 5 und den zweiten Bruch mit 4: |
| 15/20 + 8/20 | |
| Addieren Sie die Zähler und lassen Sie den Nenner: | |
| 23/20 |
Beispiel 2:
Finde die Differenz zwischen den Zahlen -3/8 und 5/12.
| Ausdruck | Die Entscheidung |
|---|---|
| -3/8 - 5/12 | Um Brüche zu subtrahieren, ist es notwendig, einen gemeinsamen Nenner zu finden. In diesem Fall wäre der gemeinsame Nenner 24. |
| Übersetzen wir die Brüche in äquivalente Brüche mit einem gemeinsamen Nenner: | |
| -3/8 * 3/3 - 5/12 * 2/2 | Wir multiplizieren den Zähler des ersten Bruchs mit 3 und den zweiten Bruch mit 2: |
| -9/24 - 10/24 | |
| Addieren Sie die Zähler und lassen Sie den Nenner: | |
| -19/24 |
Wenn Sie also Probleme mit rationalen Zahlen lösen, müssen Sie in der Lage sein, arithmetische Operationen an ihnen durchzuführen, wobei Sie die Regeln beachten, auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen und Brüche zu vereinfachen.
Methodische Empfehlungen für das Lernen von Berechnungen auf rationale Weise
1. Einführung in das Konzept der rationalen Berechnungsmethode:
Bevor Sie eine rationale Berechnungsmethode lernen, müssen Sie die Schüler mit dem Konzept selbst vertraut machen und ihre Hauptvorteile charakterisieren. Eine rationale Berechnungsmethode vereinfacht komplexe mathematische Operationen und macht ihre Ausführung schneller und präziser.
2. Grundlegende Berechnungsmethoden lernen:
Die Schüler sollten aufgefordert werden, grundlegende Berechnungsmethoden auf rationale Weise zu erlernen, wie zum Beispiel die Multiplikationsmethode für Zahlen, die mit Null enden, und die Methode, eine große Zahl durch eine kleinere zu dividieren.
Die Multiplikationsmethode für Zahlen, die mit Null enden: Multiplizieren Sie eine Zahl mit Zehn und fügen Sie am Ende Nullen hinzu.
Eine Methode, eine große Zahl durch eine kleinere zu dividieren: Verwenden Sie die Multiplikationstabelle, um das Private und den Rest zu finden.
3. Praktische Aufgaben:
Um ihre Rechenfähigkeiten auf rationale Weise zu verankern, müssen die Schüler aufgefordert werden, praktische Aufgaben zu lösen. Aufgaben können in Form von Multiplikations-, Divisions-, Additions- und Subtraktionsübungen dargestellt werden, die die Verwendung einer rationalen Berechnungsmethode erfordern.
Erlaube den Ausdruck: 273 × 10.
4. Kontrollarbeit:
Zur Beurteilung des Ausbildungsniveaus der Schüler und zur Sicherung des durchgeführten Materials sind Kontrollarbeiten erforderlich. Kontrollarbeiten helfen dabei, Problemstellen zu identifizieren und die Fortschritte beim Berechnungslernen auf rationale Weise zu bewerten.
5. individuelles Herangehen:
Es ist notwendig, die Besonderheiten jedes Schülers zu berücksichtigen und individuelle Aufgaben anzubieten, die seinen Wissensstand und seine Arbeitsgeschwindigkeit berücksichtigen. Dies wird dazu beitragen, ein effektiveres Lernen zu erreichen und die Motivation der Schüler zu erhöhen.
Nach diesen methodischen Richtlinien kann der Lehrer die Schüler effektiv auf rationale Weise über das Rechnen unterrichten und ihre mathematischen Fähigkeiten entwickeln.
