Eine einfache Möglichkeit, die Koeffizienten einer quadratischen Gleichung an bekannten Wurzeln zu finden, ohne komplexe Formeln und Methoden zu verwenden

quadratische Gleichung - dies ist eines der wichtigsten Studienobjekte in der Algebra. Sie finden breite Anwendung in verschiedenen wissenschaftlichen Disziplinen, insbesondere in der Physik und im Ingenieurwesen. Die Koeffizienten einer solchen Gleichung können auf verschiedene Arten dargestellt werden, einschließlich ihrer Wurzeln. Die Koeffizienten anhand bestimmter Wurzeln herauszufinden, ist eine Aufgabe, die mit einer speziellen Technik gelöst werden kann.

Die Methode, die Koeffizienten einer quadratischen Gleichung an ihren Wurzeln zu finden basiert auf der Verwendung der Vieta-Formel. Nach dieser Formel, wenn die quadratische Gleichung x-Wurzeln hat₁ und x₂, dann können die Koeffizienten anhand der folgenden Formeln gefunden werden:

Ein Beispiel. Die quadratische Gleichung wird 2x 2 - 7x + 3 = 0 gegeben. Finde die Koeffizienten a, b, c nach bekannten Wurzeln. Angenommen, die Wurzeln der Gleichung sind x₁ = 1 und x₂ = 3/2. Wenn wir die Vieta-Formel anwenden, erhalten wir:

b = - (1 + 3/2) = -5/2

c = 1 * 3/2 = 3/2

Die Koeffizienten dieser quadratischen Gleichung sind also gleich: a = 1, b = -5/2, c = 3/2. So können wir uns die ursprüngliche quadratische Gleichung vollständig in Form von a = 1, b = -5/2, c = 3/2 vorstellen.

Die Methode, die Koeffizienten einer quadratischen Gleichung an ihren Wurzeln zu finden

Wenn die Wurzeln der quadratischen Gleichung x₁ und x₂ gegeben sind, können die Koeffizienten a, b und c mit den folgenden Formeln gefunden werden:

Die obigen Formeln basieren auf den Eigenschaften quadratischer Gleichungen und der Vieta-Methode, einem der Theoreme der mathematischen Analyse. Mit diesen Formeln können Sie die Koeffizienten leicht berechnen, indem Sie nur die Werte der Wurzeln kennen.

Betrachten Sie ein Beispiel zur Veranschaulichung:

Die Wurzeln der quadratischen Gleichung x₁ = 2 und x₂ = -3 sind gegeben. Finde die Koeffizienten a, b und c:

Daher hat die quadratische Gleichung mit den Wurzeln x₁ = 2 und x₂ = -3 die Form x2 + x - 6 = 0.

Die Methode, die Koeffizienten einer quadratischen Gleichung anhand ihrer Wurzeln zu finden, ermöglicht umgekehrte Berechnungen und eignet sich für verschiedene Aufgaben wie das Finden von Wurzeln oder das Lösen eines Gleichungssystems.

Schritt 1: Finden Sie die Summe der Wurzeln

Die Koeffizienten einer quadratischen Gleichung beschreiben ihre Beziehung zu den Wurzeln. Bevor Sie die Koeffizienten finden, müssen Sie die Summe der Wurzeln einer quadratischen Gleichung berechnen.

Für eine quadratische Ansichtsgleichung ax 2 + bx + c = 0. die Summe der Wurzeln wird nach der Formel berechnet: -b/a.

Zum Beispiel für eine Gleichung 2x 2 - 5x + 3 = 0 wobei a = 2, b = -5 und c = 3 ist, ist die Summe der Wurzeln gleich: -(-5)/2 = 5/2 = 2.5.

Das Finden der Summe der Wurzeln ist der erste Schritt bei der Bestimmung der Koeffizienten einer quadratischen Gleichung entlang ihrer Wurzeln.

Schritt 2: Finden Sie das Produkt der Wurzeln

Um das Produkt der Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu finden, führen Sie die folgenden Schritte aus:

1. Eine quadratische Gleichung im Allgemeinen erstellen: ax^2 + bx + c = 0 wobei a, b und c die Koeffizienten der Gleichung sind.
2. Lösen Sie die Gleichung und finden Sie die Wurzeln. Wir bezeichnen die Wurzeln als x1 und x2.
3. Das Produkt der Wurzeln berechnen: x1 * x2.

Betrachten Sie eine quadratische Gleichung 2x^2 + 5x - 3 = 0.

Wenn wir die Gleichung lösen, finden wir zwei Wurzeln: x1 = 0.5 und x2 = -3. Nehmen wir ihr Werk:

x1 * x2 = 0.5 * -3 = -1.5.

Das Produkt der Wurzeln dieser Gleichung ist also -1.5.

Schritt 3: Ausdrücken Sie die Koeffizienten durch die Summe und das Produkt der Wurzeln

Für eine allgemeine quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 mit Wurzeln x₁ und x₂. die Summe der Wurzeln ist gleich x₁ + x₂ = -b/a und das Produkt der Wurzeln ist gleich x₁ * x₂ = c/a.

Auf diese Weise können wir die Koeffizienten ausdrücken a, b und c durch die Summe und das Produkt der Wurzeln nach folgenden Formeln:

Indem wir die Werte der Wurzeln in diese Formeln einfügen, erhalten wir numerische Werte für die Koeffizienten der quadratischen Gleichung.

Lassen Sie zum Beispiel eine quadratische Gleichung geben x² - 5x + 6 = 0 mit Wurzeln x₁ = 2 und x₂ = 3. Indem wir die Werte in Formeln ersetzen, erhalten wir:

Daher sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung gleich a = 1, b = -5 und c = 6.